Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...

Uma outra maneira de responder ao questionamento do Paulo, mais trabalhosa porém mais intuitiva, está descrita em Foundations of Geometry, de Hilbert. Ele desenvolve a geometria de maneira puramente axiomática, e no # 8 trata dos axiomas de continuiidade, que são o de Arquimedes V.1 e o da Completude da Reta, V.2. A partir do que, juntamente com os axiomas que dizem respeito à ordem, é possível demonstrar a equivalência entre os pontos da reta e do conjunto dos reais.

Em outro livro que tenho, de G. Verrier, uma introdução às geometrias não euclidianas por métodos elementares, o autor substitui os dois postulados citados pelo axioma de Dedekind, o que imediatamente identifica a reta geométrica com os reais, como dito pelo Ralph. O livro baseia-se na obra de Hilbert. Trata de todos axiomas comuns às três geomertrias, e posteriormente introduz novos postulados e/ou suprime alguns, a partir do que desenvolve o assunto. Tudo por métodos elementares. É muito interessante. Está escrito em francês, adquiri em 1951, creio que esta esgotado. Mas se alguém tiver interesse, posso doá-lo juntamente com o de Hilbert.

Sobre os surreais conheço pouco, mas parece muito interessante a idéia de que os numeros infinitesimais passem a ter existência efetiva, o que dispensaria em parte os complicados épsilons e deltas da definição usual de continuidade de uma função em um ponto. (Weierstrasse). Vou ver se encontro o livro mencionado pelo Nehab. Gostaria de saber como os problemas geoméricos são abordados, se fazendo corresponder a cada segmento de reta a parte Re do surreal, ou o número completo, incluindo um infinitesimal. Nessa hipótese lembraria Leibntz com suas mônadas, ou o sonho pitagórico do "tudo é número".

2008/3/28, Carlos Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>:

Oi, Ralph (e Paulo),

Apenas matando as suadades...um rápido comentário:

Para os aficcionados, o livro "Surreal Numbers" é "quase" novelesco (com fundo matemático, é claro) do Knuth (um verdadeiro mago) e já foi traduzido para o português (a edição original tem mais de 30 anos - eu era quase um "pirralho" na época :-) e ainda dava aula no IME...- ah... que saudades Ralph me lembrou...).
É um belo, pequeno e imperdível livro para a maioria dos participantes desta lista. Quem ainda não leu em inglês, aproveite: eu comprei no começo do ano uma cópia em português na livraria da Travessa (acho que foi uns 40 reais - mas pela Amazon em inglês é naturalmente mais barato).

E aproveitando a deixa do Ralph, quem for curioso também pode e deve dar estudar Fuzzy Sets, Fuzzy Numbers (Numeros Nebulosos, etc). Os de Engenharia Elétrica ou Computação, certamente terão contato com isto, bem como com Algoritmos Genéticos...

Ou seja, há muito mais coisa para se aprender do que supõe a vã flosofia, ou mesmo a reta (sur)real...

Abraços,
Nehab

Ralph Teixeira escreveu:
.......
P.S.: Por outro lado, dá para definir números "surreais" (veja
http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com
eles, algumas propriedades antigas têm de ser descartadas (por
exemplo, neles a<=b e b<=a não implica a=b), mas eles são bem bacanas,
são uma extensão dos reais que não tem nada a ver com os complexos e o
pessoal tenta pensar neles ainda numa espécie de "reta", usando
"nuvens" ao invés de "pontos", incluindo uns "pontos no infinito" e
fazendo várias outras barbáries. Por incrível que pareça, no final,
tudo funciona, as construções são justificadas formalmente e estes
objetos têm aplicações.
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================