Re: [obm-l] módulo

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Antonio,

acho que foi você quem não leu direito nem a questão e muito menos a resposta do Paulo Santa Rita.
Em momento algum o Paulo usou a tese para prova-la, como você afirma. Isso é realmente um erro comum, mas para pessoas de um nivel de matematica mais baixo do que o do Paulo, certamente.
O que ele fez foi admitir a hipotese e que esta implica a NEGACAO da tese e em seguida provar que esta é falsa, e a partir dai, ter a obrigacao de concluir a veracidade da tese.

Vou te devolver um exemplo muito parecido com o que você deu, mas para explicar o que o Paulo fez. Quero provar: n = 5 ==> n é impar.
Vamos, para evidenciar a tecnica, definir um numero par como aquele que pode ser decomposto como a soma de duas parcelas iguais e inteiras.
Vamos então admitir a hipotese (n = 5) e supor a negacao da tese: n é par. Sendo n par, temos que ser capazes de exibir um inteiro que somado a si mesmo de 5.
Ora, 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, e a partir daqui, k + k > 5. Então não existe inteiro que somado a si mesmo dê 5. Logo foi um erro admitir que n é par, isto é, dado que n = 5, não vale que n é par, vale a negação disso, isto é: n não é par. Um número inteiro que não é par é necessariamente ímpar, o que conclue a demonstração.


O seu contra-exemplo para negar a afirmação proposta pelo exercicio não vale pelo simples fato de que para o seu a e o seu b vc tomou APENAS UM valor de r, e a hipotese inclue " | a - b |<r PARA TODO VALOR DE r MAIOR QUE ZERO". Não satisfeita a hipótese, não há obrigação nenhuma de que a tese valha.



Para finalizar, um simples argumento (e não mais uma prova, essas vc ja tem o suficiente) para tentar convencer a veracidade da afirmação:

Temos dois numeros positivos, a e b. Calculamos o modulo de sua diferença: d = |b - a|.
Temos então que d >= 0.
Mas eu afirmo pra vc (hipotese): dado um numero real r positivo (maior que zero), d < r. Quanto vale d?
Ora, r = 0.5 implica d < 0.5. Mas e se diminuirmos r? Tomemos então r = 10^-219287391873. Ora, d < r. Como d será menor do que QUALQUER valor positivo, temos então que d é NO MAXIMO 0. Mas pela definição de d, ele também é NO MINIMO 0. Ora, nessas condições, d vale exatamente 0, o que implica a = b.



Espero que a questão tenha ficado clara agora para você. Qualquer coisa, pergunte!

Abraço
Bruno

2008/3/26 Antonio Giansante <profcabi@xxxxxxxxxxxx>:

Creio que você incorreu em um erro muito comum da
argumentação lógica, justamente por ser ele muito
sutil de ser percebido (e por isso ser muito usado em
concursos públicos): Você não pode usar a tese para
prová-la. Por exemplo: Prove que se um número é
divisível por 2, então ele é par. Aí você começa
fazendo: suponha que n é par, logo é divisível por 2.
Por isso não pode fazer "suponha r=s". creio que essa
afirmação da tese é dito modus tollens. Em um exemplo
um pouco mais didático: pense na afirmação: Se chove,
então molha.  Assim, se eu afirmar que se molhou,
então choveu, vou estar errando, pois poderia ter
molhado com um copo d'água, uma mangueira, etc  Eu
posso dizer que se chove, com certeza molha, mas se
molha, nem sempre foi porque choveu. Espero que este
chove-e-não-molha (que é a negação da frase inicial)
E creio que essa afirmação é falsa, pois encontramos
um contra-exemplo: Seja a#0, b = 2a e r = 3a veja que
| a - b |<r mas a#b, o que contradiz a afirmação.




--- Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx>
escreveu:

> Ola Joel e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
>
>
> Suponha que a # b, isto é, suponha que "a" e
> diferente de "b". Neste
> caso, s = | a - b | e um real positivo. Entao,
> fazendo r = s e usando
> a propriedade enunciada, teremos :
>
> | a - b | < s => | a - b | < | a - b | ... absurdo !
>
> Assim, a nossa tese e insustentavel e somos
> obrigados a admitir que a = b.
>
> No endereco abaixo existem muitos problemas
> olimpicos interessantes :
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr/
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 3,0D31,190308
>
>
>
> Em 25/03/08, Joel Castro<joelcastro99@xxxxxxxxxxxx>
> escreveu:
> > tenho pequena dúvida:
> >
> > prove: se para todo r maior que zero, o módulo da
> diferença de a e b é menor
> > que r, então a é igual a b.
> >
> > valeu!!!!!!
> >
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