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Re: [obm-l] Soma das potências q das raízes de um polinômio

Artur  o problema que  vc esta querendo resolver é feito utilizando as identidades de Newton
procure no google:  newton´s identities ou symmetric polynomial

Consider the polynomial

p(\lambda) = \prod_{\alpha=1}^n \left( \lambda - x_\alpha \right) = \sum_{j=0}^n (-1)^{j} a_j \lambda^{n-j}

where the xα are the roots and the aj are the coefficients. Define the power sums

t_j = \sum_{\alpha=1}^n x_\alpha^j \ {\rm \ for\ } j \geq 0 \,.

Then the original form of Newton's identities is the recurrence

t_1 = a_1 \,,
t_2 = a_1 t_1 - 2 a_2 \,,
t_3 = a_1 t_2 - a_2 t_1 + 3 a_3 \,,
t_4 = a_1 t_3 - a_2 t_2 + a_3 t_1 - 4 a_4 \,,
t_5 = a_1 t_4 - a_2 t_3 + a_3 t_2 - a_4 t_1 + 5 a_5 \,,

where the pattern is obvious. For an elementary proof see the book by Tignol cited below.

[edit] Computing power sums

From these formulae we can readily obtain more useful formulae, expressing the power sums in terms of the coefficients:

t_1 = a_1\,,
t_2 = a_1^2 - 2 a_2\,,
t_3 = a_1^3 - 3 a_1 a_2 + 3 a_3\,,
t_4 = a_1^4 - 4 a_1^2 a_2 + 4 a_1 a_3 + 2 a_2^2 - 4 a_4\,.
Espero que isto te ajude!
Jones

2008/2/12 Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>:
Se q é um inteiro positivo, existe alguma forma relativamente fácil de se determinar a soma das potências q das raízes de um polinômio? Algo, por exemplo,  baseado nas reações de Girard?
 
Obrigado
Artur