De (I) e (II) tiramos que: (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) ==> (ab+ac+bc)=-1/2.
Dados tres numeros reais, existe um polinomio do 3º grau tal que esses tres numeros sejam raizes. Apartir disso escrevo: x^3 -t_1(x^2)+t_2(x^2)-(t_3)(p)=0
Girard: a+b+c=-(-t_1) ab+bc+ac=(t_2)=-1/2 abc=-(-t_3) S_n: soma das n-esimas potencias. (S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0 Fazendo n=1 vem: S_4 + 0 -1/2 -0 = 0 S_4 = 1/2.
Omiti algumas continhas, pois ja estava ficando muito extenso.
Eu notei que (S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0 é realmente uma expressão válida. Mas de onde vem isto? Existe alguma expressão com mais termos?
Abraços,
Aldo [Texto das mensagens anteriores oculto]
Aldo Munhoz <amunhoz@xxxxxxxxx> 28 de março de 2006 18:17 Responder a: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx (1) a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) (2) a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 = (ab + bc + ac)^2 - 2abc(a + b + c) (3) ab + bc + ac = [(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)]/2
Substituindo (2) e (3) em (1): (4) a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - [(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)]^2/2 + 4abc(a + b + c)
usando o fato de que a + b + c = 0 e a^2 + b^2 + c^2 = 1 em (4): a^4 + b^4 + c^4 = 1/2
[obm-l] Dúvida Júnior <jssouza1@xxxxxxxxx> 28 de março de 2006 18:44 Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx Aldo, você pode chegar nessa expressão simplesmente fazendo uso da definição de raiz. Isto é Se x_n é raiz de um polinomio de grau n entao P(x_n)=0. Entao proceda assim:
(x_1)^{n} + b(x_1)^{n-1} + c(x_1)^{n-2} + ... + z =0 (x_2)^{n} + b(x_2)^{n-1} + c(x_2)^{n-2} + ... + z =0 ... ... ... (x_n)^{n} + b(x_n)^{n-1} + c(x_n)^{n-2} + ... + z =0 Somando membro a membro tem a expressão.
Como você pode ter chegado a esta expressão a partir do polinômio acima?
(S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0
Como a, b e c são raízes do polinômio mencionado, o que você obtém é: a^3 -t_1(a^2)+t_2(a)-(t_3)=0 b^3 -t_1(b^2)+t_2(b)-(t_3)=0 c^3 -t_1(c^2)+t_2(c)-(t_3)=0
Somando termo a termo (a^3+b^3+c^3)-t_1(a^2+b^2+c^2)+t_2(a+b+c)-3t_3=0
Por isso que perguntei.
Não entendi ainda de onde veio tal expressão. (S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0
Abraços,
Aldo
[obm-l] Dúvida Júnior <jssouza1@xxxxxxxxx> 28 de março de 2006 21:30 Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx Basta voce multiplicar o polinomio por x, que significa colocar o zero também como raiz.
Se q é um inteiro positivo, existe alguma forma relativamente fácil de se determinar a soma das potências q das raízes de um polinômio? Algo, por exemplo, baseado nas reações
de Girard?