Re: [obm-l] função contínua

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá Artur,

eu também pensei no TVM, mas não tive a idéia de usar o ponto "c".

apenas para constar, vamos provar que o ponto c realmente existe:

a < (a+b)/2 < b
fazendo: g(x) = f(x) - (a+b)/2, temos que g(a) < 0 e g(b) > 0, logo, pelo teorema de Rolle, existe c, tal que g(c) = 0
logo: f(c) = (a+b)/2

abraços,
Salhab

2008/2/13 Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>:

Como f é continua, existe c em (a , b) tal que f(c) =
(a+b)/2.

Aplicando o TVM a [a , c], obtemos x1 em (a , c) tal
que f'(x1) = (f(c) -f(a))/(c -a) =(b - a)/(2(c - a).
Aplicando o TVM agora a [c , b], obtemos x2 em (c , b)
tal que f'(x2) = (f(b) -f(c))/(b - c) =(b - a)/(2(b -
c).

Temos, entao, que a < x1 < x2 < b e que

1/f'(x1) +
1/f'(x2) = (2(c - a))/(b - a) + (2(b - c))/(b - a =
(2(b - a))/(b - a) = 2 , provando a afirmacao.

Artur

Ps. O merito desta prova nao e meu, um amigo sugeriu o
ponto chave c e eu so dei os arremates finais com o
TVM.

>     From: Carlos Gomes
>     To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
>     Sent: Saturday, February 09, 2008 7:45 AM
>     Subject: função contínua
>
>
>     Olá amigos...será que alguém pode me ajudar com
> essa?
>
>     Seja f uma função contínua em [a,b] e
> diferenciável em (a,b) tal que f(a)=a e f(b)=b.
> Mostre que existem x_1 e x_2 tais que a< x_1 < x_2 <
> b tais que 1/f ' (x_1)  +  1/f ' (x_2) = 2.
>
>
>     Valew, Cgomes

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