[obm-l] Re: [obm-l] função contínua

["Carlos Gomes" <cgmat@xxxxxxxxxxxxxx>]

Valew  pela  força  Artur!  Por coincidência acabei de encontrar num outro 
livro (PROBLEM SOLVING THROUGH PROBLEMS do  Loren Larson) um problema 
relacionado, na verdade uma generalização que me permitiu resolver o 
problema original. Por coincidência ia por aqui na lista agora.

A generalização é a seguinte:

Seja f:[0,1] ---> R, contínua e derivável em (0,1) com f(1)=1 e f(0)=0, 
então para cada inteiro positivo n existem pontos distintos x_1, x_2, ..., 
x_n em (0,1)  tais que

1/f '(x_1)  +  1/f '(x_2) + .... +1/f '(x_n) = n

é muito legal.....está resolvido na pág 223 do livro que citei acima

Valew, Artur, obrigado pelo interesse.

----- Original Message ----- 
From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxxxx>
To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Sent: Tuesday, February 12, 2008 11:42 PM
Subject: Re: [obm-l] função contínua


Como f é continua, existe c em (a , b) tal que f(c) =
(a+b)/2.

Aplicando o TVM a [a , c], obtemos x1 em (a , c) tal
que f'(x1) = (f(c) -f(a))/(c -a) =(b - a)/(2(c - a).
Aplicando o TVM agora a [c , b], obtemos x2 em (c , b)
tal que f'(x2) = (f(b) -f(c))/(b - c) =(b - a)/(2(b -
c).

Temos, entao, que a < x1 < x2 < b e que

1/f'(x1) +
1/f'(x2) = (2(c - a))/(b - a) + (2(b - c))/(b - a =
(2(b - a))/(b - a) = 2 , provando a afirmacao.

Artur

Ps. O merito desta prova nao e meu, um amigo sugeriu o
ponto chave c e eu so dei os arremates finais com o
TVM.

>     From: Carlos Gomes
>     To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
>     Sent: Saturday, February 09, 2008 7:45 AM
>     Subject: função contínua
>
>
>     Olá amigos...será que alguém pode me ajudar com
> essa?
>
>     Seja f uma função contínua em [a,b] e
> diferenciável em (a,b) tal que f(a)=a e f(b)=b.
> Mostre que existem x_1 e x_2 tais que a< x_1 < x_2 <
> b tais que 1/f ' (x_1)  +  1/f ' (x_2) = 2.
>
>
>     Valew, Cgomes



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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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