I) Tecnicamente, isto depende do número de bolinhas que você tem. Se você tiver 3 bolinhas de cada cor, por exemplo, em 10 bolinhas sorteadas sem reposição você tem 100% de probabilidade de ter as 4 cores!
Vou interpretar de outro jeito (que é equivalente a tomar o número de bolinhas indo para infinito, ou supor que as bolinhas são sorteadas **com** reposição): vou fazer 10 sorteios independentes; cada sorteio consiste em escolher uma de 4 cores, todas com a mesma probabilidade 1/4. A pergunta é: qual a chance de faltar alguma cor no decorrer dos 10 sorteios?
Vou usar M (aMarelo), Z (aZul), V (verde) e B (branco) para denotar o número de vezes que cada cor apareceu nos 10 sorteio. Note que M+Z+V+B=10. Queremos Pr(M=0 ou Z=0 ou V=0 ou B=0).
i) Pr(M=0)=Pr(Z=0)=Pr(V=0)=Pr(B=0)=(3/4)^10
(3/4 de chance em cada sorteio daquela cor específica não aparecer)
ii) Pr(M=Z=0)=Pr(M=V=0)=...=Pr(B=V=0)=(2/4)^10
(2/4 de chance em cada sorteio de ambas aquelas cores não aparecerem)
iii) Pr(M=Z=V=0)=Pr(M=Z=B=0)=...=(1/4)^10
(basicamente, cada um destes significa "tudo de uma cor só")
Pelo princípio da inclusão-exclusão, queremos
Pr(M=0 ou Z=0 ou V=0 ou B=0) =
= Pr(M=0)+Pr(Z=0)+...+Pr(B=0)
-(Pr(M=0 e Z=0)+Pr(M=0 e V=0)+...Pr(B=V=0))
+Pr(M=Z=V=0)+Pr(M=Z=B=0)+...
-Pr(M=Z=V=B=0) =
= 4.(3/4)^10-6.(2/4)^10+4.(1/4)^10 - 0 = 230056/(2^20) = 21.94%
II) De novo, só dá para achar um número se a gente supuser que as bolinhas são sorteadas COM reposição (que é equivalente ao número de bolinhas tender a infinito). O método é igual ao de ali em cima: usarei a mesma notação Z (# de aZuis), V (# de Vermelhas) e M (# de aMarelas). Note que Z+V+M=18.
i) Pr(Z=18)=Pr(V=18)=Pr(M=18)=(1/3)^18
Então Pr(todas da mesma cor) = 3.(1/3)^18 - 1/9(3^17) = 7.74(10^-9)
ii) Pr(Z=0)=Pr(V=0)=Pr(M=0)=(2/3)^18
Então Pr(Z=0 ou V=0 ou M=0) =
= Pr(Z=0)+Pr(V=0)+Pr(M=0)
-Pr(Z=V=0)-Pr(Z=M=0)-Pr(V=M=0)
+Pr(Z=V=M=0) =
= 3.(2/3)^18-3.(1/3)^18
(Observação: o que eu fiz foi a probabilidade de aparecem 2 cores OU MENOS). Se você quiser a probabilidade de aparecerem EXATAMENTE cores, tem que subtrair de novo a probabilidade de aparecer 1 cor só:
Pr(EXATAMENTE 2 cores) = 3.(2/3)^18-3.(1/3)^18 - (3.(1/3)^18 - 1/9(3^17)). Na prática, a diferença é pouca.)