Re: [obm-l] probabilidades

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

I) Tecnicamente, isto depende do número de bolinhas que você tem. Se você tiver 3 bolinhas de cada cor, por exemplo, em 10 bolinhas sorteadas sem reposição você tem 100% de probabilidade de ter as 4 cores!

 

Vou interpretar de outro jeito (que é equivalente a tomar o número de bolinhas indo para infinito, ou supor que as bolinhas são sorteadas **com** reposição): vou fazer 10 sorteios independentes; cada sorteio consiste em escolher uma de 4 cores, todas com a mesma probabilidade 1/4. A pergunta é: qual a chance de faltar alguma cor no decorrer dos 10 sorteios?

 

Vou usar M (aMarelo), Z (aZul), V (verde) e B (branco) para denotar o número de vezes que cada cor apareceu nos 10 sorteio. Note que M+Z+V+B=10. Queremos Pr(M=0 ou Z=0 ou V=0 ou B=0).

 

i) Pr(M=0)=Pr(Z=0)=Pr(V=0)=Pr(B=0)=(3/4)^10

(3/4 de chance em cada sorteio daquela cor específica não aparecer)

 

ii) Pr(M=Z=0)=Pr(M=V=0)=...=Pr(B=V=0)=(2/4)^10

(2/4 de chance em cada sorteio de ambas aquelas cores não aparecerem)

 

iii) Pr(M=Z=V=0)=Pr(M=Z=B=0)=...=(1/4)^10

(basicamente, cada um destes significa "tudo de uma cor só")

 

Pelo princípio da inclusão-exclusão, queremos

Pr(M=0 ou Z=0 ou V=0 ou B=0) =

= Pr(M=0)+Pr(Z=0)+...+Pr(B=0)

-(Pr(M=0 e Z=0)+Pr(M=0 e V=0)+...Pr(B=V=0))

+Pr(M=Z=V=0)+Pr(M=Z=B=0)+...

-Pr(M=Z=V=B=0) =

= 4.(3/4)^10-6.(2/4)^10+4.(1/4)^10 - 0 = 230056/(2^20) = 21.94%

 

II) De novo, só dá para achar um número se a gente supuser que as bolinhas são sorteadas COM reposição (que é equivalente ao número de bolinhas tender a infinito). O método é igual ao de ali em cima: usarei a mesma notação Z (# de aZuis), V (# de Vermelhas) e M (# de aMarelas). Note que Z+V+M=18.

 

i) Pr(Z=18)=Pr(V=18)=Pr(M=18)=(1/3)^18

Então Pr(todas da mesma cor) = 3.(1/3)^18 - 1/9(3^17) = 7.74(10^-9)

 

ii) Pr(Z=0)=Pr(V=0)=Pr(M=0)=(2/3)^18

Então Pr(Z=0 ou V=0 ou M=0) =

= Pr(Z=0)+Pr(V=0)+Pr(M=0)

-Pr(Z=V=0)-Pr(Z=M=0)-Pr(V=M=0)

+Pr(Z=V=M=0) =

= 3.(2/3)^18-3.(1/3)^18+0 = 0.203%

 

iii) Queremos Pr(Z<>0 e V<>0 e M<>0) que é exatamente o complementar do item anterior. Então a resposta é

1-(3.(2/3)^18-3.(1/3)^18) = 99.797%

 

 

On 12/4/07, crmoraes@xxxxxxxxxxxxxxxxxx <crmoraes@xxxxxxxxxxxxxxxxxx > wrote:

Podem me ajudar com esses problemas?

I-)Tenho o mesmo número de bolinhas de gude verdes, amarelas, azuis e
brancas.
1. Qual a probabilidade de, em 10 bolinhas, não ter as 4 cores?


II-) Tenho o mesmo número de bolinhas de gude azuis, vermelhas e amarelas.
1. Qual a probabilidade de, em 18 bolinhas, todas serem da mesma cor?
2. Qual a probabilidade de, em 18 bolinhas, serem apenas de 2 cores
(quaisquer)?
3. Qual a probabilidade de, em 18 bolinhas, ter pelo menos 1 de cada cor?


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