[SPAM] [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

[Rodrigo Cientista <rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx>]

SPAM: -------------------- Start SpamAssassin results ----------------------
SPAM: This mail is probably spam.  The original message has been altered
SPAM: so you can recognise or block similar unwanted mail in future.
SPAM: See http://spamassassin.org/tag/ for more details.
SPAM: 
SPAM: Content analysis details:   (8.40 hits, 5 required)
SPAM: X_MAILING_LIST     (-0.3 points) Found a X-Mailing-List header
SPAM: SPAM_PHRASE_00_01  (0.8 points)  BODY: Spam phrases score is 00 to 01 (low)
SPAM:                    [score: 0]
SPAM: SUPERLONG_LINE     (0.0 points)  BODY: Contains a line >=199 characters long
SPAM: FORGED_YAHOO_RCVD  (1.4 points)  'From' yahoo.com does not match 'Received' headers
SPAM: RCVD_IN_ORBS       (2.2 points)  RBL: Received via a relay in orbs.dorkslayers.com
SPAM:                    [RBL check: found 94.38.190.206.orbs.dorkslayers.com., type: 68.178.232.99]
SPAM: RCVD_IN_OSIRUSOFT_COM (0.4 points)  RBL: Received via a relay in relays.osirusoft.com
SPAM:                    [RBL check: found 94.38.190.206.relays.osirusoft.com.]
SPAM: X_OSIRU_OPEN_RELAY (2.7 points)  RBL: DNSBL: sender is Confirmed Open Relay
SPAM: AWL                (1.2 points)  AWL: Auto-whitelist adjustment
SPAM: 
SPAM: -------------------- End of SpamAssassin results ---------------------

Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:

Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode ser generalizado):

a)    (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar)  obs: com +- quero dizer + ou -
Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1), chegando à seguinte expressão:

(an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]

Usando-se limites, vemos que quando n--> infinito, +-5/[(an)*(an-1)]--> 0, e (an)/(an-1)--> (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)--> razão áurea.

Usando a própria definição da sequência:

(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1 

(an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 ==> (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==> 

==> (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2 ==> 

==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==> 

==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==>

==> (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 ==> (an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5

comparando-se a expressão original com esta, 
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5

ou mais geralmente:

(ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n

provando por indução sobre n

Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:

LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito

LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito

LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito é ZERO

NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0

Assim a prova está completa! 

OBS: note que qualquer sequência coma  regra de formação da sequência de fibonacci forma um padrão de repetição dos últimos dígitos, mas se substituirmos +-5 por +-x o resultado final não muda, o que generaliza a prova para qualquer sequência do tipo de fibonacci

----- Mensagem original ----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>
Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 10:19:05
Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

On Nov 28, 2007 9:15 PM, Rodrigo Cientista
<rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx> wrote:
> Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1)
>
> Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça!

Não entendo pq ou onde você acha que eu supus que o limite exista.
Recapitulando a demonstração:

Provamos que a_n = A phi^n + B phib^n, A diferente de 0 (acho que isto
está claro, não?).
Provamos que lim a_n/phi^n = A (ou mais precisamente, que o limite
existe e é igual a A).
Calculamos o limite assim:
lim a_(n+1)/a_n = phi * (lim a_(n+1)/phi^(n+1))/(lim a_n/phi^n) (isto
é, se os limites do lado direito existirem e o denominador for não
nulo então o
limite do lado esquerdo tb existe e tem o valor indicado)
lim a_(n+1)/a_n = phi*A/A = phi (pois já provamos que os limites da eq
anterior existem e são ambos iguais a phi).

Assim provamos que o limite existe ao mesmo tempo que calculamos o
limite. Esta é a forma mais simples e usual de calcular um limite.

N.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================


      Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================