Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Nov 29, 2007 11:37 AM, Rodrigo Cientista
<rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx> wrote:
> Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
>
> Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode ser generalizado):
>
> a)    (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar)  obs: com +- quero dizer + ou -
> Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1), chegando à seguinte expressão:
>

Isto é verdade trocando 5 por outra constante para qq solução de
a_(n+1) = a_n + a_(n-1).
Há várias maneiras de ver isso. A mais óbvia é usar a fórmula a_n = A
phi^n + B phib^n.
Outra é ver que

[[a_(n+2),a_(n+1)],[a_(n+1),a_n]] = [[1,1],[1,0]] *
[[a_(n+1),a_n],[a_n,a_(n-1)]]
donde, tirando determinantes,

a_(n+2)*a_n - (a_(n+1))^2 = - (a_(n+1)*a_(n-1) - (a_n)^2)


> (an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
>
> Usando-se limites, vemos que quando n--> infinito, +-5/[(an)*(an-1)]--> 0, e (an)/(an-1)--> (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)--> razão áurea.
>
> Usando a própria definição da sequência:
>
> (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
>
> (an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 ==> (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==>
>
> ==> (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2 ==>
>
> ==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==>
>
> ==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==>
>
> ==> (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 ==> (an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
>
> comparando-se a expressão original com esta,
> (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
> (an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
>
> ou mais geralmente:
>
> (ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
>
> provando por indução sobre n
>
> Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
>
> LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito
>
> LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito
>
> LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito é ZERO
>
> NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
>
> Assim a prova está completa!
>

Infelizmente considero a sua demonstração incompleta (além de ser
desnecessariamente complicada).
Você demonstrou que
lim ( (a_(n+1)/a_n) - (a_n/a_(n-1)) ) = 0
Isto NÃO implica na existência de
lim a_(n+1)/a_n
Para ver isso, considere c_n = log(n).
Temos
lim c_(n+1) - c_n = 0
mas
lim c_n = +infinito.

Em outras palavras, se o termo geral de uma série tende a zero isto
não garante a convergência da série.

N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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