Re: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

Uma série que converge mais ainda não consegui ver a demonstração, que
está relacionada com a sequencia de fibonacci é a série dos reciprocos
do números de fibonacci, me falaram que ela converge para um número
irracional
1/1 +1/1+1/2+1/3+1/5+1/8+...
onde os termos do denominador são dados por
f(n+2)=f(n+1)+f(n)
com f(0)=1=f(1)

javascript:v=[];k=[];v[0]=eval(prompt("Entre com o termo
inicial",""));v[1]=eval(prompt("Entre com o segundo
termo",""));s=eval(prompt("Entre com o termo
desejado",""));i=1;for(w=1;w<s;w++){v[w+1]=v[w]+v[w-1]};k[0]=1/v[0];for(l=1;l<s;l++){k[l]=k[l-1]+1/(v[l])};alert(k[s-1])

para que seja reciproca da sequencia de fibonacci os primeiros termos
devem ser 1 e 1, a terceira entrada deve ser o termo na sequencia dos
reciprocos que se deseja, se as condições iniciais forem alteradas a
sequencia muda e não é mais a sequencia reciproca de fibonacci, para
usar o script acima, só é necessário copiar ele e colar na barra de
endereços do navegador (internet explorer, firefox e outros), onde se
escreve os sites

abraços


eu fiz um script para testar para alguns números, script em javascript

Em 28/11/07, Nicolau C. Saldanha<nicolau@xxxxxxxxxxxxxx> escreveu:
> Não entendi.
>
> A seq de Fibo tende para +infinito então ela diverge (trivialmente).
>
> Pela sua mensagem suspeito que você esteja querendo provar que existe
> o limite lim a_(n+1)/a_n.
> Se for isso, segue facilmente da fórmula
>
> a_n = A phi^n + B phib^n
>
> onde phi = (1+sqrt(5))/2, phib = (1-sqrt(5))/2.
>
> Como phi > 1 e -1 < phib < 0 temos lim a_n/(A phi^n) = lim ( 1 +
> (B/A)*(phib/phi)^n ) = 1 desde que A seja diferente de 0.
> Assim  lim a_(n+1)/a_n = lim (A phi^(n+1))/(A phi^n) = phi.
>
> On Nov 27, 2007 9:58 PM, Rodrigo Cientista
> <rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx> wrote:
> > Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...)
> >
> > Dei uma prova de convergência "feia"  a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra)
> >
> > Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência
> >
> > ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 --> L
> >
> > na verdade, no limite an/an-1 = L,  como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an ==>  L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L = (1 +ou- 5^1/2)/2,
> >
> > desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria < 1)
> >
> > Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço)
> >
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