Re: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Não entendi.

A seq de Fibo tende para +infinito então ela diverge (trivialmente).

Pela sua mensagem suspeito que você esteja querendo provar que existe
o limite lim a_(n+1)/a_n.
Se for isso, segue facilmente da fórmula

a_n = A phi^n + B phib^n

onde phi = (1+sqrt(5))/2, phib = (1-sqrt(5))/2.

Como phi > 1 e -1 < phib < 0 temos lim a_n/(A phi^n) = lim ( 1 +
(B/A)*(phib/phi)^n ) = 1 desde que A seja diferente de 0.
Assim  lim a_(n+1)/a_n = lim (A phi^(n+1))/(A phi^n) = phi.

On Nov 27, 2007 9:58 PM, Rodrigo Cientista
<rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx> wrote:
> Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...)
>
> Dei uma prova de convergência "feia"  a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra)
>
> Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência
>
> ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 --> L
>
> na verdade, no limite an/an-1 = L,  como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an ==>  L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L = (1 +ou- 5^1/2)/2,
>
> desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria < 1)
>
> Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço)
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