Re: [obm-l] Probabilidade

["Rafael Cano" <rafaelcano@xxxxxxxxxxxxx>]

Vou tentar resolver esse...
Aliás...alguém quer tentar generalizar esse problema para a enésima jogada?? 
hehehe...
Suponha que uma face f seja a última que vai sair, na décima jogada.
Então as faces a,b,c,d,e tem que aparecer pelo menos uma vez nas primeiras 9 
jogadas.
Fixemos primeiro que nas primeiras 5 jogadas cada face aparece 1 vez. Então 
temos
a sequência a b c d e. Agora, nas 4 jogadas seguintes qualquer uma delas 
pode
se repetir uma ou mais vezes. Agora temos 5 opções pra continuar: nas 4 
jogadas...
1- uma única face aparece 4 vezes
2-uma face aparece 3 vezes e outra 1 vez
3-uma face aparece 2 vezes e outras duas distintas aparecem 1 vez cada
4-duas faces distintas aparecem 2 vezes cada
5-quatro faces distintas aparecem 1 vez cada
Vou contar o número de formas possíveis em cada uma delas.
1-Há 5 opções de face para se repetir. Então obtemos: 9!*5/5! = 15120
(pois 1 das faces aparece 5 vezes nas 9 jogadas...)
2-Duas faces vão repetir. Então podemos escolher essas duas faces de 5*4
formas. Logo temos: 9!*5*4/(4!*2!) = 151200
3-Três faces vão se repetir. Mas não importa a ordem que escolhemos as
faces que aparecem apenas 1 vez. Então podemos escolher as 3 faces
de 5*4*3/2 formas = 30. Logo temos: 9!*30/(3!*2!*2!) = 453600
4-Duas faces vão se repetir. Não importa a ordem que as escolhemos.
Então temos 5*4/2=10 formas de escolher essas faces. Logo o total é
9!*10/(3!*3!) = 100800
5-Quatro faces se repetem. Não importa a ordem que as escolhemos.
Temos 5*4*3*2/4!=5 formas de fazer isso. Logo o total é
9!*5/(2!*2!*2!*2!) = 113400
Somando os 5 casos obtemos 834120 formas de, nas primeiras 9 jogadas,
tirar pelo menos um vez cada face (já consideramos as permutações de
a,b,c,d,e). Falta considerar que f pode ser qualquer face de 1 a 6.
Logo, o total é 6*834120=5004720. Como há 6^10 possibilidades diferentes de
sequências a probabilidade pedida é 5004720/6^10 = 0,0828 = 8,28%.
Acho que é isso...
Abraços.

> > > > On Nov 10, 2007 11:40 AM, Clayton Silva <claygonsil@xxxxxxxxxxxx> 
> > > > wrote:
> > > > > Um Problema muito bom de Probabilidade:
> > > > >
> > > > > "Um jogo consiste em lançar um dado honesto até sairem todas as 
> > > > > faces.
> > > > Qual é a probabilidade desse jogo terminar na décima jogada?"
> > > > >
> > > > > Abraços.
> > > > >
> > > > > =
> > > > >
> > > > >
> > > > > --
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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