Re: [obm-l] Fwd: Help! Help!

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

On 10/31/07, Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx> wrote:
> Vamos primeiro calcular z^3.
> Em forma retangular, z^3 = (x + iy)^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 =
> x^3 - 3xy^2 + i(3x^2y - y^3) = 1 + i.
> Em notacao polar, esse numero é (sqrt(2), pi/4).
> Assim o modulo de z vale cbrt(sqrt(2)) = 2^(1/6)

Seja z = a + bi.

z^3 = (a + bi)*(a + bi)*(a + bi) = (a^2 - b^2 + 2abi)*(a + bi) = a^3 +
a^2bi - ab^2 - b^3i + 2a^2bi - 2ab^2 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i

Assim, |z^3| = sqrt( (a^3 - 3ab^2)^2 + (3a^2b - b^3)^2 ) = sqrt(a^6 -
6a^4b^2 + 9a^2b^4 + 9a^4b^2 - 6a^2b^4 + b^6) = sqrt(a^6 + b^6 +
3a^2b^4 + 3a^4b^2)

Pelo que foi colocado na resolução do problema, cbrt( sqrt(a^6 + b^6 +
3a^2b^4 + 3a^4b^2) ) seria o valor de |z|, que é sqrt(a^2 + b^2).

Como poderia ser demonstrado algebricamente que

cbrt( sqrt(a^6 + b^6 + 3a^2b^4 + 3a^4b^2) ) = sqrt(a^2 + b^2) ?

Espero não ter cometido enganos nas distribuições.

-- 
Henrique

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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