Re: [obm-l] Questões da OBM

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On 10/24/07, barola@xxxxxxxxxxxxxxxx <barola@xxxxxxxxxxxxxxxx> wrote:
> PROBLEMA 2
>
> A seqüência de algarismos
>
> 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, …
>
>
>
> é construída da seguinte maneira: cada elemento, a partir do quinto, é igual
> ao último algarismo da soma dos quatro anteriores.
>
> a) Os algarismos 2, 0, 0, 4, juntos e nesta ordem, aparecem na seqüência?
>
> b) Os algarismos iniciais 1, 2, 3, 4, juntos e nesta ordem, aparecem
> novamente na seqüência?

O Shine já respondeu, vou mostrar como determinar quando aparecem os
algarismos 1,2,3,4.

Antes de mais nada podemos trabalhar independentemente módulo 2 e módulo 5.
Módulo 2 a seqüência é
1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,...
ou seja, tem período 5.

Módulo 5 a seqüência começa assim:
1,2,3,4,0,4,2,0,...
e pode parecer intimidador procurar o período. Se considerarmos uma seq definida
pela mesma regra mas com a[0] = 1, a[1] = a[2] = a[3] = 0 teremos o seguinte:
[00] 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 3, 0
[10] 4, 1, 3, 3, 1, 3, 0, 2, 1, 1
[20] 4, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 0
[30] 3, 0, 2, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 4
[40] 1, 3, 0, 3, 2, 3, 3, 1, 4, 1
[50] 4, 0, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 4
[60] 3, 1, 1, 4, 4, 0, 4, 2, 0, 1
[70] 2, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 0
[80] 0, 0, 3, 3, 1, 2, 4, 0, 2, 3
donde a[78+n] = 3*a[n] e portanto a[312+n] = 3^4*a[n] = a[n].

Assim o período é 5*312 = 1560.

N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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