Ola Thelio,Li num e-mail seu anterior que voce esta se preparando para o colegio naval, certo? Entao, vou demonstrar e complementar com alguns comentarios que acredito que lhe serao uteis. Desculpe-me se me alongar demais.Demonstracao:Seja ABCD o quadrilatero, seja BD a diagonal-bissetriz dos angulos internos ABC a ADC e seja P o ponto de intersecao das duas diagonais. Os triangulos ABD e BCD sao congruentes pelo caso ALA (angulo ABD congruente ao angulo CBD – lado comum BD – angulo CDB congruente ao angulo ADB). Portanto, os lados AB e BC sao congruentes entre si, como tambem sao congruentes entre si os lados AD e CD. Temos, desta maneira, que ABC e ADC sao triangulos isosceles de base comum AC. Sendo BP a bissetriz interna relativa a base do triangulo isosceles ABC, esta bissetriz e tambem altura (logo, perpendicular a AC) e mediana (logo, corta AC no seu ponto medio). Entao BP e um o segmento da mediatriz da diagonal AC do quadrilatero. A mesma conclusao podemos tirar relativamente ao segmento DP. Portanto, DB e um segmento daquela mediatriz.
Observacao 1) Note que o reciproco deste teorema e verdadeiro , ou seja, "se uma diagonal d1 de um quadrilatero convexo eh um segmento da mediatriz da outra diagonal d2 do quadrilatero, entao a diagonal d1 eh bissetriz dos angulos cujos vertices sao seus extremos." A demonstracao tambem sai por congruencia de triangulos: usando a mesma figura da demonstracao anterior, podemos concluir que os triangulos ABP e BCP sao congruentes pelo caso LAL. Portanto, os angulos CBP e ABP sao congruentes entre si, de modo que a diagonal BD eh a bissetriz do angulo ABC. Usando o mesmo raciocinio, chega-se a conclusao de que BD eh bissetriz do angulo ADC tambem.
Observacao 2) Vale a pena observar o seguinte: a diagonal interceptada pela outra no seu ponto medio divide o quadrilatero em dois triangulos isosceles, sendo, portanto, a base comum de dois triangulos isosceles cujos lados sao os lados do quadrilatero. A outra diagonal divide o quadrilatero em dois triangulos congruentes, sendo, portanto, a base comum de dois triangulos congruentes cujos lados sao os lados do quadrilatero. Ou seja, voce pode dizer que esse quadrilatero eh composto por dois triangulos nao-isosceles congruentes entre si ou entao que ele eh composto por dois triangulos isosceles nao congruentes entre si.
Observacao 3) Esse quadrilatero eh o que alguns chamam de PIPA devido ao seu formato que lembra o antigo brinquedo. A pipa ou papagaio eh o quadrilatero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos nao sao congruentes (se fossem, seria um losango e nao uma pipa).
Observacao 4) Com as informacao obtidas ate aqui, voce pode enumerar varias propriedades do "papagaio", como por exemplo: as diagonais sao perpendiculares entre si. Enumere outras. Por fim, deixo como desafio a demonstracao da seguinte propriedade do papagaio: a area eh o semi-produto das diagonais.
Divirta-se...
Palmerim
Em 19/10/07, Thelio Gama <teliogama@xxxxxxxxx > escreveu:Bom dia a todos,Alguem poderia me ajudar a resolver essa?"Demonstre que se a diagonal de um quadrilatero convexo e bissetriz de dois de seus angulos, entao ela e um segmento da mediatriz da outra diagonal do quadrilatero."Desde ja agradeco,Thelio