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Carlos Nehab wrote:
Oi, Alonso,
O que eu argumentei (e talvez não tenha sido claro) é
sobre o "processo mental" que levou à solução usando
matrizes.
Ainda acho que a solução apresentada foi conseqüência
da percepção de que polinômios característicos
usados na solução das recorrências, solução
tipica para elas, podem ser "olhados" em outro domínio de conhecimento
- e ai se deu a mudança de paradigma - o uso do polinômio
característico no universo das transformações linares...
Mas é claro só mesmo o Nicolau para responder a isto:
ou seja, como as coisas rolaram em seus "neurônios"... (e me surprenderá
se ele responder como "rolaram" suas sinapses para bolar a referida solução...:-)
Exatamente! Nicolau deve ter observado alguma
relação de correspondência, ou seja,
algum "morfismo" entre essas duas áreas. Esse tipo de
visão é típica de pessoas com
pensamento abstrato bastante desenvolvido. Ainda não entendi
exatamente como ele faz
essas soluções, ou seja, como implicitamente ele constrói
esses "morfismos"... É surpreendente
e interessante, de qualquer forma.
[]s/
Quanto à segunda parte de seu email, não há o
que discutir: naturalmente a questão relevante não é
calcular o limite (que quase sempre é facílimo). O
problema é mostrar que ele existe, como eu acho que foi o que você
pontuou..
Abração,
Nehab
ralonso escreveu:
Olá
Nehab:
Dei uma olhada no documento, mas o "pulo
do gato" é mesmo o uso
de matrizes. Em relação a frações
contínuas basta notar que
lim (n--> oo) x_{n+1} = lim (n-->oo) x_n =
x.
Assim x = 4 - 3/x, ==> x^2
-4x + 3 = 0.
x = 1 ou x=3. Agora
precisa-se analisar a estabilidade nestes dois pontos. Um deles
é um atrator. Note que resolver a equação
é também uma forma de resolver alguns limites de forma
mais simplificada.
[]s
Carlos Nehab wrote:
Oi, Alonso,
Não sou o Nicolau, mas vou responder (qq coisa ele me corrigirá)...
O Nicolau já nos brindou há algum tempo com uma solução
muito bonita e seguindo esta mesma linha de raciocícinio (usando
matrizes) para resolver recorrências.
(veja no final de http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200706/msg00204.html).
Quanto a sua pergunta, as "equações de diferenças"
podem ser usadas mas acho "bala de canhão" para este particular
exercício. Se você tiver alguma familiaridade
com Frações Contínuas... Veja:
A recorrência dada indica que x_n = 4 -
3 / (4 - 3 / (4 - 3/ .....)) ,
que é uma fração contínua onde se você
escrever x_n = p_n/q_n (que é usual no estudo das frações
contínuas e foi um dos truques usados pelo Nicolau), você
obtém:
p_n+1 = 4.p_n - 3.q_n (1) e
q_n+1 = p_n
(2)
Ai fica fácil (neste exercício, especialmente) resolver
estas recorrências, mas não a original, que é feiosa.
"Olhando" para x_n como p_n/q_n se eliminou a "deconfortável" parcela
1/x_n da recorrência original. Ou seja, as recorrências
para p_n e q_n são banais.
Se você substituir (2) em (1) o problema acabou... Você
obtém p_n+1 = 4.p_n - 3.p_n-1, cuja solução
é simples, e cujo polinômio característico coincide
com o usado pelo Nicolau, embora com o "olhar" dele nas matrizes...
O legal mesmo da solução do Nicolau (no meu entendimento
- se eu estiver equivocado ele me corrigirá...) é ter este
outro "olhar" do polinômio característico para os zilhões
de exercícios que usam recorrência.
Se quiser dê uma olhada em www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.doc
você verá dezenas de relações de recorrências
e seus truques... (mas sem o fecho do problema com matrizes).
Abraços,
Nehab
Olá
Nicolau.
"Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."
Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
ao racional p/q. Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
usando conceitos de equações de diferenças?
Aparentemente
daria para fazer uma analogia da equação de diferenças
x_n * x_{n+1} = 4 x_n - 3
com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial
do tipo
y y' = 4 y - 3 .
"Nicolau C. Saldanha" wrote:
On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, hpsb@xxxxxxxxxxxxxx
wrote:
> Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo dificuldades
em
> resolvê-lo. É possível achar o termo geral em
função de a_1 e n?
>
>
>
> Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1
> 3 e
> x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.
[Omitindo o resto do enunciado]
Não é necessário achar o termo geral para resolver
o problema
mas como você pediu o termo geral aqui vai.
Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Assim devemos calcular A^n.
Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
= (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
Assim
x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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