Oi, Rennó,
Não entendi muito bem o que você não entendeu, mas vou tentar...
Você conhece a relação entre os coeficientes de um polinômio e suas
raízes?
Por exemplo: se a, b e c são raízes do polinômio
x^3 + px^2 + qx + r = 0 então
- a soma das raízes, sto é, a+b+c vale -p;
- a soma dos produtos das raízes duas a duas, isto é, ab + bc + ca = q;
- o produto das raízes, isto é a.b.c vale -r.
Pois bem, foi isto que foi usado. Com as informações do enunciado ou
seja:
a+b+c = 1,
a^2+b^2+c^2 = 3 e
a^3+b^3+c^3 = 7
foram determinados os valors de ab+bc+ca e abc, pois a+b+c já foi
dado de graça.
Ajudou?
Abraços,
Nehab
Henrique Rennó escreveu:
Eu havia solucionado apenas com produtos notáveis. Como conclui-se que
a, b, c são raízes do polinômio x^3 - x^2 - x - 1 = 0 ? Como se chega
nesse polinômio?
On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx> wrote:
On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote:
Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão:
Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e
a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21.
Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc.
Temos
(a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc)
1 = 3 + 2X
X = -1
(ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc
-1 = Y + 3Z
(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc
-1 = 7 + 3Y + 6Z
Y = -4, Z = 1
Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n:
p_1 = 1
p_2 = 3
p_3 = 7
p_4 = 11
p_5 = 21
p_6 = 39
p_7 = 71
p_8 = 131
p_9 = 241
p_10 = 443
p_11 = 815
p_12 = 1499
p_13 = 2757
p_14 = 5071
p_15 = 9327
p_16 = 17155
p_17 = 31553
p_18 = 58035
p_19 = 106743
p_20 = 196331
p_21 = 361109
Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109.
Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c
podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]]
cujos autovalores são a,b,c.
[0 0 1]
N = [1 0 1]
[0 1 1]
Temos
[0 1 1]
N^2 = [0 1 2]
[1 1 2]
[1 2 4]
N^4 = [2 3 6]
[2 4 7]
[2 4 7]
N^5 = [3 6 11]
[4 7 13]
[44 81 149]
N^10 = [68 125 230]
[81 149 274]
[19513 35890 66012]
N^20 = [30122 55403 101902]
[35890 66012 121415]
[35890 66012 121415]
N^21 = [55403 101902 187427]
[66012 121415 223317]
Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das
matrizes anteriores.
Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109
(e chegamos na mesma resposta).
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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