Re: [obm-l] Dúvida

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Eu havia solucionado apenas com produtos notáveis. Como conclui-se que
a, b, c são raízes do polinômio x^3 - x^2 - x - 1 = 0 ? Como se chega
nesse polinômio?

On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx> wrote:
> On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote:
> > Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão:
> >
> > Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e
> > a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21.
>
> Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc.
> Temos
> (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc)
> 1 = 3 + 2X
> X = -1
>
> (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc
> -1 = Y + 3Z
>
> (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc
> -1 = 7 + 3Y + 6Z
>
> Y = -4, Z = 1
>
> Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
> Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
> p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n:
>
> p_1  = 1
> p_2  = 3
> p_3  = 7
> p_4  = 11
> p_5  = 21
> p_6  = 39
> p_7  = 71
> p_8  = 131
> p_9  = 241
> p_10 = 443
> p_11 = 815
> p_12 = 1499
> p_13 = 2757
> p_14 = 5071
> p_15 = 9327
> p_16 = 17155
> p_17 = 31553
> p_18 = 58035
> p_19 = 106743
> p_20 = 196331
> p_21 = 361109
>
> Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109.
>
> Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c
> podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]]
> cujos autovalores são a,b,c.
>
>     [0    0    1]
> N = [1    0    1]
>     [0    1    1]
>
> Temos
>
>       [0    1    1]
> N^2 = [0    1    2]
>       [1    1    2]
>
>       [1    2    4]
> N^4 = [2    3    6]
>       [2    4    7]
>
>       [2    4     7]
> N^5 = [3    6    11]
>       [4    7    13]
>
>        [44     81    149]
> N^10 = [68    125    230]
>        [81    149    274]
>
>        [19513    35890     66012]
> N^20 = [30122    55403    101902]
>        [35890    66012    121415]
>
>        [35890     66012    121415]
> N^21 = [55403    101902    187427]
>        [66012    121415    223317]
>
> Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das
> matrizes anteriores.
>
> Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109
> (e chegamos na mesma resposta).
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>


-- 
Henrique

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