Re: [obm-l] Dúvida

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Entendi. Muito obrigado!

On 9/30/07, Carlos Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx> wrote:
>
>  Oi, Rennó,
>
>  Não entendi muito bem o que você não entendeu, mas vou tentar...
>
>  Você conhece a relação entre os coeficientes de um polinômio e suas raízes?
>  Por exemplo: se a, b e c são raízes do polinômio
>  x^3 + px^2 + qx + r = 0 então
>  - a soma das raízes, sto é, a+b+c  vale  -p;
>  - a soma dos produtos das raízes duas a duas, isto é, ab + bc + ca = q;
>  - o produto das raízes, isto é  a.b.c   vale -r.
>
>  Pois bem, foi isto que foi usado.  Com as informações do enunciado ou seja:
>  a+b+c = 1,
> a^2+b^2+c^2 = 3 e
> a^3+b^3+c^3 = 7
>  foram determinados os valors de ab+bc+ca  e  abc, pois a+b+c já foi dado de
> graça.
>
>  Ajudou?
>
>  Abraços,
>  Nehab
>
>
>  Henrique Rennó escreveu:
>  Eu havia solucionado apenas com produtos notáveis. Como conclui-se que
> a, b, c são raízes do polinômio x^3 - x^2 - x - 1 = 0 ? Como se chega
> nesse polinômio?
>
> On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx> wrote:
>
>
>  On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote:
>
>
>  Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão:
>
> Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e
> a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21.
>
>  Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc.
> Temos
> (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc)
> 1 = 3 + 2X
> X = -1
>
> (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc
> -1 = Y + 3Z
>
> (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) +
> 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc
> -1 = 7 + 3Y + 6Z
>
> Y = -4, Z = 1
>
> Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
> Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
> p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n:
>
> p_1 = 1
> p_2 = 3
> p_3 = 7
> p_4 = 11
> p_5 = 21
> p_6 = 39
> p_7 = 71
> p_8 = 131
> p_9 = 241
> p_10 = 443
> p_11 = 815
> p_12 = 1499
> p_13 = 2757
> p_14 = 5071
> p_15 = 9327
> p_16 = 17155
> p_17 = 31553
> p_18 = 58035
> p_19 = 106743
> p_20 = 196331
> p_21 = 361109
>
> Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109.
>
> Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c
> podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]]
> cujos autovalores são a,b,c.
>
>  [0 0 1]
> N = [1 0 1]
>  [0 1 1]
>
> Temos
>
>  [0 1 1]
> N^2 = [0 1 2]
>  [1 1 2]
>
>  [1 2 4]
> N^4 = [2 3 6]
>  [2 4 7]
>
>  [2 4 7]
> N^5 = [3 6 11]
>  [4 7 13]
>
>  [44 81 149]
> N^10 = [68 125 230]
>  [81 149 274]
>
>  [19513 35890 66012]
> N^20 = [30122 55403 101902]
>  [35890 66012 121415]
>
>  [35890 66012 121415]
> N^21 = [55403 101902 187427]
>  [66012 121415 223317]
>
> Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das
> matrizes anteriores.
>
> Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109
> (e chegamos na mesma resposta).
>
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Henrique

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