Re: [obm-l] divisibilidade II

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Arthur,

De fato  3^101 - 5  é divisível por 7 mas não consegui enxergar
a relação deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco? 
Pode me explicar melhor ?

Só consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando
aritmética modular.   Acho que você sacou alguma coisa que eu
não ví...  

Abração,
Nehab

PS:
O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  --->  3^96 =
1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então  3^101 = 5 
(mod 7).  

At 18:03 15/8/2007, you wrote:

E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo?
Artur
 
 
 
 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [ mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade

Oi, Francisco,

O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.  

Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando "módulo".   Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente...

Solução 1)

Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto?

Mas cada grupo de seis noves (999999) é divisível por 7 dando 142857.   Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão.

Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.

Solução 2)

Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante):

Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu último algarismo (de N) é r.

Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.

Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).

Abraços,

Nehab

PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.

Abraços,

Nehab

At 15:39 15/8/2007, you wrote:

Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?

 

Grato.

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