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RES: [obm-l] divisibilidade II



Oi Carlos,
 
Vejamos o seguinte
 
Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).....a_0 e seja P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1).......+ a_0. Temos, entao, que N = P(10). Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, particularizado para polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 - k). No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.....+ 9 * 3 + 6 = 9 (3^100 - 3)/2 + 6 =   (9 *3^100 - 27 + 12)/2 =   (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é divisível por 7. Pode ser cultura um tanto inútil, mas achei isso legal.
Artur 
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II

Oi, Arthur,

De fato  3^101 - 5  é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco?  Pode me explicar melhor ?

Só consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando aritmética modular.   Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví... 

Abração,
Nehab

PS:
O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  --->  3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então  3^101 = 5  (mod 7). 

At 18:03 15/8/2007, you wrote:
E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo?
Artur
 
 
 
 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [ mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade

Oi, Francisco,

O correto é 10^100 - 4  e não 10^100 - 6.  

Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando "módulo".   Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente...

Solução 1)
Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto?

Mas cada grupo de seis noves (999999) é divisível por 7 dando 142857.   Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão.
Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.

Solução 2)
Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante):

Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu último algarismo (de N) é r.
Então N é divisívível por 7 sss  M - 2r é divisível por  7.

Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).

Abraços,
Nehab

PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.

Abraços,
Nehab



At 15:39 15/8/2007, you wrote:
Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?

 
Grato.


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