Basicamente o que Göedel quis dizer é que não
podemos ter em matemática
um sistema de axiomas completo (com todos os axiomas
para decidir a veracidade e a falsidade de qualquer proposição
ou teorema).
Se um tal sistema de axiomas existisse (um sistema
de axiomas dito "completo") ele
necessáriamente seria inconsistente (chegaríamos a veracidade
de um teorema por um caminho
e a falsidade do mesmo teorema por outro).
Se o sistema for incompleto (não tiver "todos os
axiomas") ele poderá ser consistente (não
apresentar por diferentes caminhos a afirmação e a negação
de um mesmo teorema).
Ora, sabemos que na matemática não
temos a prova de veracidade de um teorema por um
caminho e aprova da falsidade do mesmo por outro :) Assim a matemática
é consistente, MAS
incompleta ! E sempre será!
Veja, isso não é ruim, e não
é a derrota da matemática. Isso
é bom, porque mudando um axioma, desde que é claro ele
seja independente dos demais,
(como o quinto axioma de Euclides é dos demais axiomas da geometria
plana), podemos construir
diferentes lógicas, todas elas rigorosas, que se adequam a diferentes
tipos de problemas ou a um
mesmo problema em específico. O teorema
de Göedel é, dessa forma talvez, a maior demonstração
de poder de fogo da matemática.
E é também o maior desafio dos físicos
achar os melhores axiomas e
sistemas que descrevem o mundo em que vivemos.
Vejamos um exemplo:
A física newtoniana é baseada na geometria plana de Euclides
e
o grupo de transformações do espaço e do tempo é
o grupo de Galileu.
A física relativística é baseada na geometria hiperbólica
e o grupo
de transformações do espaço e do tempo é o
grupo de Poincaré.
Por que a segunda lógica foi preferida à primeira?
Físicos dizem que é porque Deus quis.
Segundo eles, se a lógica não não fosse essa, muitos
fenômenos
que observamos no dia a dia, como um simples acender de fósforo
não aconteceriam da forma
que acontecem. Einstein acreditava que fazer essas perguntas
era como conversar com
o Criador, pois apenas a experiência é capaz de revelar
a lógica correta (pois existem muitas
lógicas e todas rigorosas).
Assim, sendo pode ser que a física relativística
não contenha todos os axiomas necessários à real
compreensão do mundo e que alguns deles precisam ser identificados
mudados para que ganhemos uma compreensão
completa de como o universo é como ele é.
Ronaldo Luiz Alonso
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:
Bem, eu conheço pouco sobre esta área mais nebulosa, mas o que Godel quis dizer é que,se a matemática é consistente, é necessário algo mais poderoso que a matemática para provartal consistência.Eu costumo pensar no postulado de Euclides-Playfair , o das paralelas.Este postulado é indecidível, ou seja, é necessário um raciocínio superiora ele para provar que ele é ou não verdadeiro.Bem, este negócio de "como algo pode ter consistencia se nos nao podemos prova-lo",é como (paralelo meio tosco, é verdade) soltar um suspeito de um crime por falta de provas.Em 02/08/07, johnson nascimento <johnson_heer@yahoo.com.br> escreveu:Ola amigos !Eu depois de me desenpenhar muito em matematica aplicada a 1 ano atras venho me intenressando por fundamentação matematica. Compreendi perfeitamente o programa de Hilbert mais nao compreendi o teorema de Godel. O que realmente Godel quer diser com; "Se a matemática é consistente, sua consistência não pode ser provada dentro da própria matemática" Entao ela sera provada onde? "Se a matemática é consistente ela é incompleta" Ou seja, nao podemos decidir entre sua afirmação ou negação qual é verdadeira, isso significa que devemos recorrer a intuição? Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender como algo pode nao ter consistencia se nos nao podemos prova-lo. Por favor eu gostaria de um exemplo dentro das teorias formalizadas existentes pra poder compreender esse tipo de conceito. Muito Obrigado menbros da lista e felicidades a todos ;)Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
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