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Re: [obm-l] Uma boa de geometria



Valeu, Nehab, obrigado. Vou analisar empós o período de trabalho.

Oi, João Carlos,

Tive uma idéia que não sei se frutifica, pois não estou muito inspirado, mas veja se ajuda.  (é uma solução não geométrica, no sentido usual):

"Dada uma reta fixa, pense na transformação (não linear, é claro) que associa a cada ponto do plano o seu simétrico com relação a tal reta".

1) Observe agora que dado um triângulo, a transformação T1, digamos, que toma o simétrico de A, B e C com relação à reta suporte de AB deixa A e B no mesmo lugar e coloca o ponto C onde você quer (ou seja, no simétrico C' etc).

Como conseqüência, se você pensar nas 3 transformações T1, T2 e T3 (respectivamente que tomam o simétrico com relação às retas suporte de AB, BC e CA), verá que o triângulo que você construiu tomando os três simétricos é a imagem do triângulo original pela composta das 3 transformações T1, T2 e T3 (concorda?).   Logo, a questão é saber se a tal composta é fácil de analisar.

2) Vejamos: uma simetria com relação a uma reta pode ser decomposta como soma de uma simetria (transformação linear com determinante -1)  e uma translação.

Pense na T1, por exemplo, assim: se a reta suporte de AB é a reta y = px + q dá para calcular a imagem de um ponto (x; y) por T1:  
T1( x, y) = T'(x, y)  + 1/(p^2+1) . (2q; -2pq),  onde a matriz da transformação T' (simetria) possui linha 1 igual a  [2p   p^2 -1]  e segunda linha [ 1 - p^2   2p], ambas divididas por (p^2 +1).  Dica: Imponha que o ponto médio de CC' está nesta reta e que o coeficiente angular da reta  CC' vale -1/p (são ortogonais).

3) Agora: será que é fácil analisar a composição de T1, T2  e T3  sem muito trabalho braçal?

Não me inpirei, mas fica aí a idéia.   Naturalmente que vou tentar uma solução geométrica mais tarde  :-).
 
Abraços,
Nehab

At 08:33 25/7/2007, you wrote:

Até o momento, não sei como resolver essa questão não.


Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.

X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC
Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC
Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB

Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ?
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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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