Re: [obm-l] Uma boa de geometria

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, João Carlos, 

Tive uma idéia que não sei se frutifica, pois não estou muito inspirado,
mas veja se ajuda.  (é uma solução não geométrica, no sentido
usual): 

"Dada uma reta fixa, pense na transformação (não linear, é claro)
que associa a cada ponto do plano o seu simétrico com relação a tal
reta".

1) Observe agora que dado um triângulo, a transformação T1, digamos, que
toma o simétrico de A, B e C com relação à reta suporte de AB deixa A e B
no mesmo lugar e coloca o ponto C onde você quer (ou seja, no simétrico
C' etc). 

Como conseqüência, se você pensar nas 3 transformações T1, T2 e T3
(respectivamente que tomam o simétrico com relação às retas suporte de
AB, BC e CA), verá que o triângulo que você construiu tomando os três
simétricos é a imagem do triângulo original pela composta das 3
transformações T1, T2 e T3 (concorda?).   Logo, a questão é
saber se a tal composta é fácil de analisar.

2) Vejamos: uma simetria com relação a uma reta pode ser decomposta como
soma de uma simetria (transformação linear com determinante -1)  e
uma translação. 

Pense na T1, por exemplo, assim: se a reta suporte de AB é a reta y = px
+ q dá para calcular a imagem de um ponto (x; y) por T1:  
T1( x, y) = T'(x, y)  + 1/(p^2+1) . (2q; -2pq),  onde a matriz
da transformação T' (simetria) possui linha 1 igual a 
[2p   p^2 -1]  e segunda linha [ 1 - p^2   2p],
ambas divididas por (p^2 +1).  Dica: Imponha que o ponto médio de
CC' está nesta reta e que o coeficiente angular da reta  CC' vale
-1/p (são ortogonais).

3) Agora: será que é fácil analisar a composição de T1, T2  e
T3  sem muito trabalho braçal? 

Não me inpirei, mas fica aí a idéia.   Naturalmente que vou
tentar uma solução geométrica mais tarde  :-).
 
Abraços,
Nehab 

At 08:33 25/7/2007, you wrote:

> Até o
> momento, não sei como resolver essa questão não.
>
>
> Seja um triangulo ABC com lados a, b, c.
>
> X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC
> Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC
> Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB
>
> Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ?
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
> lista em
>
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html