[obm-l] IMO 2007

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Saiu agora o primeiro dia, no site do Mathlinks: http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=1&cid=16&year=2007

Traduzindo:

1. São dados os números reais a_1, a_2, ..., a_n. Para cada i, 1 <= i <= n, defina
d_i = max{a_j, 1 <= j <= i} - min{a_j, i <= j <= n}.

Seja d = max{d_i, 1 <= i <= n}.

a) Prove que, para todos reais x_1 <= x_2 <= ... <= x_n,
max{ |x_i - a_i|, 1 <= i <= n} >= d/2 (*)

b) Mostre que existem reais  x_1 <= x_2 <= ... <= x_n tais que a igualdade em (*) ocorre.

2. Considere cinco pontos A, B, C, D, E tais que ABCD é um paralelogramo e BCED é um quadrilátero cíclico. Seja r uma reta passando por A. Suponha que r corte o interior do segmento DC em F e a reta BC em G. Suponha também que EF = EG = EC. Prove que r é a bissetriz do ângulo DAB.

3. Numa competição de matemática, alguns competidores são amigos. Amizade é sempre mútua. Chame um grupo de competidores de clique se quaisquer dois entre eles são amigos. Em particular, qualquer grupo com menos de dois amigos é um clique. O número de membros de um clique é o seu tamanho.

Dado que, nesta competição, o maior tamanho de um clique é par, prove que os competidores podem ser divididos em duas salas tais que o maior tamanho de um clique em uma sala é igual ao maior tamanho de um clique na outra sala.

[]'s
Shine


       
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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