On 2/22/07, Rafael <rfa1989@gmail.com> wrote:
Qual o metodo que voces usam para resolver recorrencias lineares
nao-homogeneas do tipo: a_n*x_n +...+a_0*x_0 = P(n)
sendo P(n) um polinomio em n.
Ex.: x_n - 5*x_(n-1) + 6*x_(n-2) = 5 + 3*n +2*n^2
Li uma solucao de um problema parecido com esse (mas do mesmo formato
geral que eu descrevi acima) , onde o autor ao meu ver "chuta" que x_n
é da forma x_n = A*n^2 + B*n +C , e substitui nos x_n, x_(n-1), etc do
problema.
Depois usa identidade de polinomios para determinar A,B,C e depois
soma essa solucao com a solucao do caso homogeneo (como se o segundo
membro fosse zero).
Vc deve já ter notado que você está diante de uma equação de diferenças não
homogênea. Daí a solução é x = x_h + x_p onde x_h é a solução particular equação
homogênea. No caso do exercicio que vc resolveu não é dificil ver que a solução
particular tem que ser da forma x_n = A*n^2 + B*n +C , porque se termos quadráticos
aparecem do lado direito, então para qualquer termo da forma x_(n-k) teríamos
x_(n-k) = A* (n-k)^2 + B*(n-k) + C que daria um polinômio de grau 2. E a soma
de polinômios de grau 2 tem sempre grau 2.
E se os termos do lado direito envolvessem senos, cossenos ou coisas do gênero?
Você olharia as operações que são executadas nos termos do lado direito. Como
só existem coeficientes constantes multiplicando x_(n-k), isso fica um pouco
mais fácil, Note então que senos e cossenos
do lado esquerdo, não podem aperecer elevados ao quadrado ou
devem se reduzir a identidades trigonométricas do lado esquerdo,
*se* os termos do lado direto não estiverem elevados a potências.
Note também que a solução particular, de qualquer equação desta natureza,
tem que considerar nuances deste tipo e será específico para cada caso.
Havia um professor meu, da física, que dizia o seguinte: Não há algoritmo fechado
para resolver equações diferenciais, ganhar dinheiro e conquistar mulheres bonitas.
Só a intuição e o "bom senso" conseguem resolvê-los, se eles, é claro, forem
possíveis :) :)
[]s
Como é que eu vou saber que polinomio devo "chutar" para a forma x_n?
sera que é sempre um polinomio do mesmo grau que P(n)?
ou ha um metodo melhor, para calcular isso?
Obrigado.
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Rafael
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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