[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: [obm-l] Numeros Irracionais
Muito obrigado pelo "jovem" - fez o meu dia!
Eu fui da turma IME-ITA do Impacto em 1981 (pra sua enquete de idades, tenho 41).
Alias, ha cerca de um ano, no IMPA, eu vi uma colega de curso com a camiseta do IME (na minha epoca o IME era uma escola soh pra
meninos) e comentei que tambem tinha sido de lah. Ela perguntou em que ano. Eu disse que tinha entrado em 1982. Dai ela me matou
com: "Nossa! Eu nem tinha nascido ainda..." Foi muito pior do que aguentar os amigos dos meus filhos me chamando de "tio".
[]s,
Claudio.
---------- Cabeçalho original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Sun, 11 Feb 2007 23:33:51 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais
> Oi, jovem Claudio,
>
> Textos muito bem escritos, hein (já dei uma boa paquerada). Ótima
> dica e de minha parte, obrigadíssimo. Atualizou dois "coroas": eu e
> o Ivan Niven...:-)
>
> Grande abraço,
> Nehab
>
> PS: Só ficou uma dúvida: você foi da turma do Rogério Ponce ou é
> mais "jovem"...?
>
>
> At 22:34 11/2/2007, you wrote:
> >Tambem existe uma bela referencia on-line sobre numeros irracionais
> >e transcendentes:
> >http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html
> >
> >O Teorema 8 eh o resultado sobre cosseno e o Teorema 18 eh aquele
> >citado pelo Nicolau.
> >Ha varios outros bem interessantes, inclusive o teorema de
> >Gelfond-Schneider e a demonstracao de que a sequencia (x_n) dada por x_n
> >= n*a - int(n*a), com a irracional eh uniformemente distribuida em [0,1].
> >Infelizmente, calculo eh um pre-requisito fundamental, mas quem sabe
> >isso eh o justamente incentivo que faltava...
> >
> >[]s,
> >Claudio.
> >
> >---------- Cabeçalho original -----------
> >
> >De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> >Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Cópia:
> >Data: Sat, 10 Feb 2007 11:42:35 -0200
> >Assunto: [obm-l] Off topic
> >
> > > Oi Nicolau,
> > >
> > > Eu não ia perder esta oportunidade...
> > >
> > > Em minha reposta ao Ricardo sobre este mesmo assunto (cosseno
> > > racional) indiquei o "Niven" e imaginei que os "mais jovens" poderiam
> > > sugerir um livro mais recente. Portanto, uma simples
> > > "contraposição" mostra que, como você sugeriu o mesmo livro, logo
> > > você não pertence à categoria dos "mais jovens"... :-)
> > >
> > > Apenas a título de curiosidade você poderia informar a menor, a maior
> > > e a idade média da galera - sem precisão, apenas por instinto... Eu
> > > acho 12 anos, 65 anos e uns 25 anos, um bom chute... Ou seja, devo
> > > estar bem para lá da média + 3 desvios padrão...
> > >
> > > Abraços
> > > Nehab
> > >
> > > PS: Por favor, a galera da geração do Rogério Ponce, para não pagar
> > > mico, é melhor não se manifestar, hein...
> > >
> > > At 08:02 10/2/2007, you wrote:
> > > >On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
> > > > >
> > > > > Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é
> > > > > racional?
> > > >
> > > >Supondo que os ângulos estejam expressos em radianos, não.
> > > >Na verdade se x é algébrico diferente de 0 então cos(x) não é algébrico.
> > > >Um número real ou complexo x é algébrico se existir um polinômio
> > > >não nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz.
> > > >Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann:
> > > >http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html
> > > >
> > > >Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n são números algébricos
> > > >com os a_i distintos e os A_i não nulos então
> > > >A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) é diferente de 0.
> > > >
> > > >Suponha x algébrico, x não nulo.
> > > >Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2.
> > > >Então A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x).
> > > >Pelo teorema, cos(x) é não nulo.
> > > >Se cos(x) fosse algébrico poderíamos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x),
> > > >contradizendo o teorema.
> > > >
> > > >Este teorema não é fácil a ponto de eu achar viável demonstrá-lo
> > > >em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional
> > > >é um corolário. Uma boa referência para este teorema e outros parecidos
> > > >é o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA.
> > > >
> > > >[]s, N.
> > > >=========================================================================
> > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > >=========================================================================
> > >
> > > =========================================================================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > =========================================================================
> > >
> > >
> >
> >
> >=========================================================================
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >=========================================================================
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================