Re: [obm-l] Numeros Irracionais

[Ben� <bene@xxxxxxxxxxxx>]

O Prof. Ivan Niven, infelizmente, j� faleceu.
Benedito

----- Original Message ----- 
From: "Carlos Eddy Esaguy Nehab" <carlos@nehab.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 11, 2007 10:33 PM
Subject: Re: [obm-l] Numeros Irracionais


> Oi,  jovem Claudio,
>
> Textos muito bem escritos, hein (j� dei uma boa paquerada).  �tima dica e 
> de minha parte, obrigad�ssimo.  Atualizou dois "coroas":  eu e o  Ivan 
> Niven...:-)
>
> Grande abra�o,
> Nehab
>
> PS: S� ficou uma d�vida:  voc� foi da turma do Rog�rio Ponce ou � mais 
> "jovem"...?
>
>
> At 22:34 11/2/2007, you wrote:
>>Tambem existe uma bela referencia on-line sobre numeros irracionais e 
>>transcendentes:
>>http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html
>>
>>O Teorema 8 eh o resultado sobre cosseno e o Teorema 18 eh aquele citado 
>>pelo Nicolau.
>>Ha varios outros bem interessantes, inclusive o teorema de 
>>Gelfond-Schneider e a demonstracao de que a sequencia (x_n) dada por x_n
>>= n*a - int(n*a), com a irracional eh uniformemente distribuida em [0,1].
>>Infelizmente, calculo eh um pre-requisito fundamental, mas quem sabe isso 
>>eh o justamente incentivo que faltava...
>>
>>[]s,
>>Claudio.
>>
>>---------- Cabe�alho original -----------
>>
>>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>C�pia:
>>Data: Sat, 10 Feb 2007 11:42:35 -0200
>>Assunto: [obm-l] Off topic
>>
>> > Oi Nicolau,
>> >
>> > Eu n�o ia perder esta oportunidade...
>> >
>> > Em minha reposta ao Ricardo sobre este mesmo assunto (cosseno
>> > racional) indiquei o "Niven" e imaginei que os "mais jovens" poderiam
>> > sugerir um livro mais recente.   Portanto, uma simples
>> > "contraposi��o" mostra que, como voc� sugeriu o mesmo livro, logo
>> > voc� n�o pertence � categoria dos "mais jovens"... :-)
>> >
>> > Apenas a t�tulo de curiosidade voc� poderia informar a menor, a maior
>> > e a idade m�dia da galera - sem precis�o, apenas por instinto...   Eu
>> > acho 12 anos, 65 anos e  uns 25 anos, um bom chute...   Ou seja, devo
>> > estar bem para l� da m�dia + 3 desvios padr�o...
>> >
>> > Abra�os
>> > Nehab
>> >
>> > PS: Por favor, a galera da gera��o do Rog�rio Ponce, para n�o pagar
>> > mico, � melhor n�o se manifestar, hein...
>> >
>> > At 08:02 10/2/2007, you wrote:
>> > >On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
>> > > >
>> > > > Al�m de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado �
>> > > > racional?
>> > >
>> > >Supondo que os �ngulos estejam expressos em radianos, n�o.
>> > >Na verdade se x � alg�brico diferente de 0 ent�o cos(x) n�o � 
>> > >alg�brico.
>> > >Um n�mero real ou complexo x � alg�brico se existir um polin�mio
>> > >n�o nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz.
>> > >Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann:
>> > >http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html
>> > >
>> > >Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n s�o n�meros alg�bricos
>> > >com os a_i distintos e os A_i n�o nulos ent�o
>> > >A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) � diferente de 0.
>> > >
>> > >Suponha x alg�brico, x n�o nulo.
>> > >Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2.
>> > >Ent�o A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x).
>> > >Pelo teorema, cos(x) � n�o nulo.
>> > >Se cos(x) fosse alg�brico poder�amos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x),
>> > >contradizendo o teorema.
>> > >
>> > >Este teorema n�o � f�cil a ponto de eu achar vi�vel demonstr�-lo
>> > >em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional
>> > >� um corol�rio. Uma boa refer�ncia para este teorema e outros 
>> > >parecidos
>> > >� o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA.
>> > >
>> > >[]s, N.
>> > >=========================================================================
>> > >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> > >=========================================================================
>> >
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>> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> > =========================================================================
>> >
>> >
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>>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> No virus found in this incoming message.
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> Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.36/681 - Release Date: 11/2/2007
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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