Re:[obm-l] OIMU 99 - Produto de Vetores

Em R^3 define-se o produto "o" do seguinte modo:

> (x, y, z) o (u, v, t) = (xu + yt + zv, xv + yu + zt, xt + yv + zu).

Demonstrar que para qualquer k natural, se (x, y, z) ^k = (0, 0, 0) então

x = y = z = 0.

Nota: Define-se (x, y, z)^k = (x, y, z) ^(k-1) o (x, y, z) para qualquer inteiro k > 1, e (x, y, z)^1= (x, y, z).

Seja (x(n),y(n),z(n)) = (x,y,z)^n para n >= 1.

Da definicao da operacao, obtemos a seguinte recorrência:

x(n+1) = x*x(n) + z*y(n) + y*z(n)

y(n+1) = y*x(n) + x*y(n) + z*z(n)

z(n+1) = z*x(n) + y*y(n) + x*z(n)

(n>=1)

A matriz dessa recorrência é

A = x z y

y x z

z y x

a qual é semelhante a:

D = diag( x + y + z , a + bi , a - bi )

onde:

a = x - y/2 - z/2 e b = raiz(3y^2 - 2yz + 3z^2)/2.

(o autovalor real e a parte real dos dois autovalores complexos saem por inspeção. "b" requer algumas contas)

Pondo V(n) = (x(n),y(n),z(n))^t, teremos que:

V(n+1) = A*V(n) = A^n*V(1).

Existe uma matriz invertível P tal que:

V(n+1) = P*D*P^(-1)*V(n) = P*D^n*P^(-1)*V(1) ==>

P^(-1)*V(n+1) = D^n*P^(-1)*V(1) (%)

Suponhamos que V(1) = (x,y,z)^t <> (0,0,0)^t mas que, para algum n em N, V(n+1) = (0,0,0)^t.

Como P é invertível, P^(-1)*V(1) <> (0,0,0)^t.

Assim, em virtude de (%), V(n+1) = (0,0,0)^t <==> D^n = 0.

Como D é diagonal, D^n = 0 <==> D = 0 <==>

x + y + z = x - y/2 - z/2 = 3y^2 - 2yz + 3z^2 = 0 <==>

x = y = z = 0 <==> V(1) = (0,0,0)^t ==>

contradição.

Logo, se V(1) <> (0,0,0)^t então V(n) <> (0,0,0)^t para todo n em N ou, equivalentemente,

se para algum n em N, V(n) = (0,0,0)^t, então x = y = z = 0.

[]s,

Claudio.