[obm-l] Desigualdade entre as médias

[MP <boromir@xxxxxxxxxxxx>]

Saudações,

outro dia uma aluna me pediu que eu demonstrasse a seguinte desigualdade:

(a+b+c)/3 =< CBRT[(a^3+b^3+c^3)/3],

CBRT -> raiz cubica
para a, b e c reais positivos

eu já havia resolvido uma parecida:

(a+b+c)/3 =< SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]

mas usava o fato de que a soma dos quadrados das distâncias de cada 
número até a média é não negativa:

A=(a+b+c)/3 e B=SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]

(a-A)^2 + (b-A)^2 + (c-A)^2 >=0

a^2 + b^2 + c^2 -2A(a+b+c) + 3A^2 >=0

a^2 + b^2 + c^2  = 3B^2
(a+b+c) =3A

3B^2 -6A^2 + 3A^2 >=0

B^2 >= A^2

A =< B.

Alguem pode me ajudar na demonstração da média cúbica?

[]'s MP




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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