Re: [obm-l] Desigualdade entre as médias

[Ary Medino <arymedino@xxxxxxxxxxxx>]

Caro MP

 

Observe que (y^3-x^3)/(y-x)=y^2+xy+x^2 <=3y^2<=z^2+yz+y^2=(z^3-y^3)/(z-y),  sendo a primeira desigualdade para 0<=x<y e  a segunda, para y<z. Daí segue

 

y^3 <= x^3 + 3y^2(y-x),  para 0<=x<=y e y^3 <= z^3 + 3y^2(y-z),  para  0<=y<=z . Ou seja, vale a desiguladade

y^3 <= x^3 + 3y^2(y-x) (*)

 

Para o valor y=(a+b+c)/3 fixo em (*), tome os valores x = a, x = b, x = c sucessivamente e some membro a membro as desiguladades obtidas que você obterá 3y^3<= a^3+b^3+c^3 e segue [(a+b+c)/3]^3<=(a^3+b^3+c^3)/3 e a desiguladade desejada. Acho que a mesma idéia serve para provar a desigualdade generelizada 

 

[(a_1+ ...+a_n)/n] <= [((a_1)^n+ ... + (a_n)^n)/n]^(1/n)

 
Para informação, essas desigualdades são casos particulares de uma desigualdade da teoria da probabilidade, chamada desigualdade de Jensen, que diz que se f é uma função convexa e X uma variável aleatória tal que as esperanças E(X) e E(f(X)) exsitem, então vale

f(E(X))<=E(f(X)).

Com essa desigualdade, prova-se os casos particulares mensionados e muitas outras desigualdades, como por exemplo

(a_1.a_2. ... .a_n)^(1/n) <= (a_1+ ... + a_n)/n^,

asando-se a função convexa f(x)=e^x.

Obs.: E(X) indica a esperança matemática da variável aleatória X.

 

Ary

MP <boromir@ajato.com.br> escreveu:

  Saudações,

outro dia uma aluna me pediu que eu demonstrasse a seguinte desigualdade:

(a+b+c)/3 =< CBRT[(a^3+b^3+c^3)/3],

CBRT -> raiz cubica
para a, b e c reais positivos

eu já havia resolvido uma parecida:

(a+b+c)/3 =< SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]

mas usava o fato de que a soma dos
 quadrados das distâncias de cada 
número até a média é não negativa:

A=(a+b+c)/3 e B=SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]

(a-A)^2 + (b-A)^2 + (c-A)^2 >=0

a^2 + b^2 + c^2 -2A(a+b+c) + 3A^2 >=0

a^2 + b^2 + c^2 = 3B^2
(a+b+c) =3A

3B^2 -6A^2 + 3A^2 >=0

B^2 >= A^2

A =< B.

Alguem pode me ajudar na demonstração da média cúbica?

[]'s  MP




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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