| De: | owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Cópia: |
| Data: | Wed, 22 Nov 2006 00:57:24 -0200 |
| Assunto: | Re: [obm-l] Questao 4 da OBM-U 2006 |
Outro modo de pensar:
A idéia é que polinomios com raizes (todas elas) em pares de produto 1 deve ser simétrico. Ou seja, p(x)=x^np(1/x)
*** De fato, o enunciado fala apenas num par de raízes com produto 1. Mas isso não afeta o resto do seu raciocínio.
p é o polinomio minimal de r, fato consumado.
Se o grau do polinomio p é n, temos que X^n * p(1/X) tem grau n e zera em r.
Logo p(X) divide X^n * p(1/X), o que significa que os polinomios diferem pelo produto de uma constante.
*** Essa observação elementar de fato simplifica bastante a solução e evita todo aquele algebrismo com os coeficientes. Gostei!
Como os dois polinomios sao iguais quando X=1, entao os dois polinomios sao iguais.
Entao temos o fato
X^n * p(1/X) =p(x).
Se n fosse ímpar, temos
(-1)^n * p(-1) =p(-1)
e assim -1 é raiz do polinomio, impossível pois o polinômio é irredutível.
P.S.: O problema nao usa todo o poder do fato de o polinomio ser irredutível, apenas o de nao ter raiz (-1)
*** Também usa o fato de que o termo independente de um polinômio irredutível é não-nulo. Caso contrário, x^n*p(1/x) teria grau < n e o seu argumento não funcionaria.
[]s,
Claudio.