[obm-l] Questao 1 da OBM-U 2006

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Sem perda de generalidade, podemos supor que f(0) = 0, pois:

Integral(0...1) xdx = (1/2)*Integral(0...1) dx = 1/2, de modo que a desigualdade do enunciado não se altera se substituirmos f(x) por f(x) + c, qualquer que seja c em R.

 

Temos que provar que I = Integral(0...1) (x - 1/2)f(x)dx >= 0.

 

Como f é crescente, para todo x em [1/2,1] temos f(x) > f(1-x). Assim:

I = Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +

Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(x)dx >

 

Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +

Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(1-x)dx.

 

Fazendo a mudança de variáveis y = 1-x <==> x = 1-y, teremos:

x - 1/2 = 1/2 - y; f(1-x) = f(y); dx = -dy;

x = 1/2 ==> y = 1/2; x = 1 ==> y = 0.

 

Logo,

Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +

Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(1-x)dx =

 

Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +

Integral(1/2...0) (1/2 - y)f(y)(-dy) =

 

Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +

- Integral(0...1/2) (y - 1/2)f(y)dy = 0.

 

Ou seja, I > 0 e, portanto, I >= 0.

 

 

[]s,

Claudio.