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Sent: Tuesday, November 21, 2006 7:11
PM
Subject: [obm-l] Questao 4 da OBM-U
2006
Como p é irredutível e tem grau > 1, r e s (=1/r) são irracionais e,
além disso, p(x) é o polinômio mínimo de r, ou seja, é o polinômio de menor
grau em Q[x] que tem r como raíz (p(x) também é o polinômio mínimo de
1/r).
Seja p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n, com a_n <> 0
Como p é irredutível, a_0 <> 0.
Suponhamos que n = grau(p) seja ímpar ==> n = 2m+1, com m em N.
r e 1/r são raízes de p(x) ==>
p(r) = a_0 + a_1r + a_2r^2 + ... + a_nr^n = 0
e
r^n*p(1/r) = a_0r^n + a_1r^(n-1) + a_2r^(n-2) + ... + a_n = 0
Sejam:
f(x) = (p(x) + x^n*p(1/x))/(1+x)
e
g(x) = (p(x) - x^n*p(1/x))/(1-x).
Então, f(x) =
(a_0 + a_n)*(1 + x^n)/(1 + x) +
(a_1 + a_(n-1))*(x + x^(n-1))/(1 + x) +
...
(a_m + a_(m+1))*(x^m + x^(m+1))/(1 + x) =
(a_0 + a_n)*(1 - x + x^2 - ... + x^(n-1)) +
(a_1 + a_(n-1))*(x - x^2 + x^3 - ... + x^(n-2)) +
...
(a_m + a_(m+1))*x^m.
(repare que podemos escrever f(x) desta forma justamente porque estamos
supondo que n é ímpar e, portanto, que existe um número par (n+1) de
coeficientes a_k, os quais podem ser agrupados em pares da
forma:
{a_k,a_(n-k)}).
Analogamente, obtemos que g(x) =
(a_0 - a_n)*(1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)) +
(a_1 - a_(n-1))*(x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-2)) +
...
(a_m - a_(m+1))*x^m
É fácil ver que f(x) e g(x) pertencem a Q[x].
Além disso, não podem ser ambos identicamente nulos pois, se esse fosse o
caso, então p(x) = ((1+x)*f(x) + (1-x)*g(x))/2 seria identicamente nulo, o que
é impossível.
Logo, pelo menos um deles será um polinômio não-nulo de grau <=
n-1.
No entanto, como f(r) = g(r) = 0, somos forçados a concluir que r é raiz
de um polinômio não-nulo de grau <= n-1, o que contradiz o fato de p(x) ser
o polinômio mínimo de r.
Essa contradição mostra que grau(p) não pode ser ímpar.
[]s,
Claudio.
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