[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?

["Marcelo Salhab Brogliato" <k4ss@xxxxxxxxxx>]

Olá Nehab,

bom.. eu faria alguma coisa do tipo:

f(xy) = f(x) + f(y)

tomando y=1, temos: f(x) = f(x) + f(1) .... f(1) = 0
tomando y=1/x, temos: f(x/x) = f(x) + f(1/x) = f(1) = 0 .... f(1/x) = -f(x)

por inducao, mostramos que f(a1 * a2 * ... * an) = f(a1) + f(a2) + f(a3) + 
... + f(an)
por inducao, mostramos que: f(x^n) = nf(x), para n natural...
mas, f(x^(-n)) = f(1/x^n) = -f(x^n) = -nf(x) ... logo, extendemos para os 
inteiros..

seja a = p/q, p, q inteiros, q != 0, entao: f(x^a) = f(x^(p/q)) = p 
f(x^(1/q))...bom,
um dia eu ja consegui fazer essa prova pra racionais, mas nao estou 
conseguindo
agora! se alguem puder mandar ai... :) ou, se eu conseguir, mando em outra 
mensagem...

entao, apenas voltando: provei algumas propriedades da funcao...
mas acredito que nao tenha como provar que é a funcao logaritmo... pq acho q 
a funcao nao é unica...

aqui, coloco uma outra duvida: apos mostrar para os racionais, faltaria 
mostrar para os irracionais para
valer para os reais... como mostrar para os irracionais? alguem tem alguma 
ideia?

abraços,
Salhab




----- Original Message ----- 
From: "Carlos Eddy Esaguy Nehab" <carlos@nehab.net>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, November 03, 2006 2:37 AM
Subject: Re: [obm-l] Função Logarítmica?


Renan e Salhab

Ok, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse
que a função f é derivável...  Se não o for, o que vocês fariam?
Abração,
Nehab

At 22:40 2/11/2006, you wrote:
>Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:
>1
>seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e 
>controdominio os reais, tal que
>
>f(1) = 0
>f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0)
>
>Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)
>
>e sabendo que
>
>Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e
>Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 é
>
>a) -2
>b) 2
>c) 3
>d) 4
>e) 1
>
>
>Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + 
>f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para 
>resolver essa
>
>2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando)
>
>Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema
>
>log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2
>X² - 4Y² = 4
>
>Então Xo + Yo vale
>
>a) 7/4
>b) 9/4
>c) 11/4
>d) 13/4
>e) 17/4
>
>A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). 
>Infelizmente não é um método muito confiável =)
>
>Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.
>
>A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!
>
>--
>Abraços,
>Jonas Renan

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