Re: [obm-l] (ITA - 97) FUNÇÕES - questão 2

[Ronaldo Luiz Alonso <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxx>]

Zeca Mattos wrote:
> Seja n E N com n > 1 fixado. Considere o conjunto:
> A = {p/q: p,q E Z e 0 < q < n}
> Definimos f:R->R por f(x) = [cos(n!pix)]^2n
> Se f(A) denota a imagem do conjunto A pela função f, então:
   É mais fácil pensar com números, primeiro e generalizar depois.
    Faça n = 5 por exemplo.
      q =1,2,3,4  ==>  A = {p, p/2, p/3, p/4}
     
    f(A) = { [cos((5!). pi) . p)]^10,  [cos((5!/2). pi . p)]^10,
                 [cos((5!/3). pi) . p)]^10, [cos((5!/4). pi . p)]^10}
  
  Agora note que  n!/q é inteiro se q<n  logo n! * p/q também é inteiro
porque p é inteiro.  Temos então que n! * p/q = k em Z.  E portanto
   [cos(n!pix)] = +1 ou -1

    Como tal expressão está elevada a um expoente par que
no caso é 2n o resultado só pode ser 1.
         
   Veja que esta questão faz o candidato pensar logicamente.  Ela não 
envolve
nenhum tipo de conta, só argumentação :)

Abraço
Ronaldo.


>  
> *Resp.: F(A) = {1}*
>  
> Agradeço antecipadamente qualquer ajuda,
> Zeca
>
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