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Somas de Secantes - Era:[obm-l] putnam 2002



Esse problema da Putnam me deu uma idéia, que proponho aqui como um problema (certamente não é inédito, mas procurei no Lidski, no Krechmar e no Fadeev-Sominski e não achei):
 
Expanda 1/(x^(2m+1) - 1) em frações parciais (m inteiro positivo) e, a partir desta expansão, calcule o valor da soma:
SOMA(k=1...m) sec(2*k*pi/(2m+1))
 
Observação: faz diferença se m é par ou ímpar.
 
Desafio: Calcule também o valor de:
SOMA(k=1...m) sec^2(2*k*pi/(2m+1))
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 19 Oct 2006 12:00:48 +0100
Assunto: [obm-l] putnam 2002
> Alguem poderia me ajudar com a questão abaixo,
> ela não parece difícil, acho que não estou manipulando as coisas como deveriam ser para isolar o que preciso,
> abraços,
>  
> Jhonata
>  
>  
>  
> k and n are positive integers. Let f(x) = 1/(xk - 1). Let p(x) = (xk - 1)n+1 fn(x), where fn is the nth derivative. Find p(1)