Re: [obm-l] Métrica que induz a topologia discreta

["Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Oi, Artur.

A idéia da demonstração é a boa. Eu vejo um jeito de desfazer o
problema de achar os {r_x} não-enumeráveis da seguinte forma:
considere a função r : X -> R que você definiu como os r_x, e tome X_n
= r^(-1) ( (1/n, +\inf) ). Pelo seu argumento (a construção dos r_x),
temos claramente que X = Uniao X_n, e pela reunião enumerável, temos
que existe um dos X_n que é não-enumerável, e esse será o teu A.

Por outro lado, ainda não tenho idéia de um método para fazer os teus
r_x serem em quantidade não-enumerável. Possivelmente isso deva
incluir um axioma da escolha e associar a classes distintas de
irracionais (com relação a Q) uma quantidade nao-enumerável dos teus
r_x : você sabe que eles podem ser diminuídos, então pegue um r'_x que
seja menor do que r_x e pertença à classe irracional C(x) onde C é uma
aplicação de X nas classes de R/Q. Isso é uma idéia, tem muitos
detalhes aí que eu ainda não sei justificar direito (por exemplo, o
fato de a função C(x) ser "suficientemente diferente em X" para
podermos usar C^(-1) e obter uma infinidade não-enumerável de x \in X.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 10/20/06, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
>
>
> Gostaria de comentários a respeito da demonstração apresentada a seguir:
>
> Afirmação:
>
> Seja X um conjunto não enumerável e seja d uma métrica definida em X que
> induza a topologia discreta. (A topologia discreta é aquela em que conjuntos
> formados por um único elementos são abertos, o que equivale a dizer que
> nenhum elemento de X é ponto de acumulação de X - daí o nome discreta).
> Então, para algum eps>0, existe um subconjunto não enumerável A tal que
> d(x1,x2)  >= eps para todos elementos distintos x1 e x2 de A. (O caso
> trivial é quando d é a chamada métrica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se
> x1<>x2, e d(x1,x2) =0,  se x1= x2. A métrica citada no enunciado não tem que
> ser um múltiplo positivo da métrica discreta. Se fosse, nada teríamos a
> demonstrar.)
>
> Demonstração.
>
> Como o conjunto  {x} é aberto qualquer que seja x de X, para cada x existe
> r_x >0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo B(x, r_x) a bola aberta de centro em x
> e raio r_x. Para cada inteiro positivo n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que
> Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o conjunto não-enumerável {r_x} e é
> dado pela uniao enumeravel dos A_n, segue-se que nao é possível que todos os
> A_n contenham uma quantidade apenas enumerável de números r_x (ou {r_x}
> seria enumerável). Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao é enumeravel.
> Se agora definirmos eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m},
> então d(x1, x2) >= 1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo é
> enumerável pois é equivalente ao naoo enumerável A_m inter {r_x}.
>
> Eu achei que estava certo, mas acho que passei por cima de um detalhe, qual
> seja, o de que {r_x} não é enumerável. Na realidade, a cada x podemos
> associar valores de r_x pertencentes a um intervalo aberto do tipo (0, b), b
> finito. Mas isso garante que podemos estabelecer uma bijecao entre X e um
> conjunto de raios r_x?  Estou na dúvida.
>
> Abraços
> Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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