Re: [obm-l] Cos 7º

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Só pra dar um dos possíveis exemplos de como se obter
cos(7 graus) a partir de equações algébricas (e sem
querer dar pitaco na discussão mais avançada que se
seguiu depois!!!)

1- Tome p(x) = x^180 + 1 e calcule suas raízes. 
2- Tome uma das raízes com parte real máxima(são 4
raízes com parte real máxima em módulo, tomemos uma
delas, digamos x180)
3- Eleve este numero complexo à sétima: c7 = (x180)^7
4- A parte real de c7 vale cos(7 graus), exatamente.

[]´s Demétrio

No maple =>

restart;f:=x^180+1;z:=solve(f=0):
                                  180
                            f := x    + 1
> r180:=0: for r in z do
>   if ( evalf(Re(r180)) < evalf(Re(r)) ) then
r180:=r: end if:
> end do:
> 
> 
> evalf((r180));
                    0.9998476955 + 0.01745240644 I
> evalf[50](Re(r180^7));       
0.99254615164132203498006158933058410904365287740678
> evalf[50](cos(2*Pi*7/360));        
0.99254615164132203498006158933058410904365287740683



 
--- rlalonso@lsi.usp.br escreveu:

> On Fri, Maio 26, 2006, "Nicolau C. Saldanha"
> <nicolau@mat.puc-rio.br>
> said:
> 
> > Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a
> segunda mair raiz de
> > 
> >                  48                     46        
>              44
> > 281474976710656 z   - 3377699720527872 z   +
> 18999560927969280 z
> > 
> >                           42                      
> 40                       38
> >      - 66568831992070144 z   + 162828875980603392
> z   - 295364007592722432 z
> > 
> >                            36                     
>  34
> >      + 411985976135516160 z   - 452180272956309504
> z
> > 
> >                            32                     
>  30
> >      + 396366279591591936 z   - 280058255978266624
> z
> > 
> >                            28                     
> 26                      24
> >      + 160303703377575936 z   - 74448984852135936
> z   + 28011510450094080 z
> > 
> >                          22                     20
>                    18
> >      - 8500299631165440 z   + 2064791072931840 z  
> - 397107008634880 z
> > 
> >                        16                  14     
>            12
> >      + 59570604933120 z   - 6832518856704 z   +
> 583456329728 z
> > 
> >                     10               8            
> 6           4         2
> >      - 35782471680 z   + 1497954816 z  - 39625728
> z  + 579456 z  - 3456 z  + 1
> > 
> > 
> > As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para
> > k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
> 
> 
>      Magnífico.  Onde será que eu posso achar algo
> que explique como
> construir esse polinômio ... Acredito que não deva
> ser nada simples.
> 
> Ronaldo.
> 
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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