Re: [obm-l] Re: [obm-l] Galois e polinômio irredutível [era: Achar as raizes z^4+4]

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, May 26, 2006 at 09:59:31PM +0000, Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
> 
> Oi N.,
> 
> O que quero dizer seria mais fáxil com um exemplo.
> 
> Mas seja p(x) = x^3 + px + q = 0. (*) Z[x]
> 
> Para achar as raízes , calcule D = q^2/4 + p^3/27 e
> suponha D<0. (3 raízes reais distintas e não racionais por hipótese).
> 
> Calculamos phi = Arccos\frac{q\sqrt{27}}{2p\sqrt{-p}}
> 
> e as raízes de (*) são:
> 
> x_1 = 2\sqrt{-p/3}cos(phi/3) = A cos(phi/3)
> 
> x_2 = A cos(phi/3 + 2\pi/3)
> 
> x_3 = A cos(phi/3 + 4\pi/3)
> 
> Infelizmente não me ocorre um exemplo numérico mas acho que
> o exemplo clássico de cos20 serve.
> 
> No caso dos x_i não serem números algébricos posso dizer que
> o polinômio se fatora em (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) ?

O seu único erro é julgar que estes números não são algébricos.
Eles são algébricos sim, prova disso é que eles são raízes
de um polinômio com coeficientes algébricos.
O fato deles serem escritos de uma forma que envolve o número
transcendente pi e as funções cos e sen não altera isso.
 
> Pela sua resposta >Claro que pode! A fatoração dele é
> >4(x - c7)(x - c127)(x - c247)
> 
> acho que posso.
> 
> Mas li que no caso acima onde D<0 o polinômio é irredutível
> (sem raiz racional, é claro).

É irredutível em Q mas não em R.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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