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Re: [obm-l] Ajuda



Olá Cláudio,
Muito grato pela solução.

Manoel.

"claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:
Eu acho que este argumento é falho pois ao dividir (2m)!*(2n)! por m!*n! você pode "perder" os fatores primos que fariam com que o quociente fosse divisível por (m+n)!.
 
Um jeito de resolver é provando que cada primo aparece em (2m)!*(2n)! com um expoente igual ou maior do que o expoente com que este primo aparece em m!*n!*(m+n)!.
 
Ou seja, temos que provar que, para cada primo p,
SOMA(k>=1) ([2m/p^k] + [2n/p^k]) >=
SOMA(k>=1) ([m/p^k] + [n/p^k] + [(m+n)/p^k]
 
([x] = maior inteiro menor ou igual a x)
 
Para isso é suficiente provar a desigualdade:
[2x] + [2y] >= [x] + [y] + [x+y], onde x e y são reais quaisquer.
 
x = [x] + {x}
y = [y] + {y} ==>
 
[2x] + [2y] = 2[x] + 2[y] + [2{x}] + [2{y}]  (i)
[x] + [y] + [x+y] = 2[x] + 2[y] + [{x}+{y}]  (ii)
 
Subtraindo (ii) de (i), obtemos:
[2x] + [2y] - [x] - [y] - [x+y] = [2{x}] + [2{y}] - [{x}+{y}]
 
Assim, o problema se reduz a provar que, se a e b pertencem a [0,1), então
[2a] + [2b] >= [a+b].
 
Supondo s.p.d.g. que 0 <= a <= b < 1, vamos por casos:
i) 0 <= a <= b < 1/2  ==>  0 >= 0
ii) 0 <= a < 1/2 <= b < 1  ==>  1 >= 0 ou 1
ii) 1/2 <= a <= b < 1  ==>  2 >= 1 
 
Logo, a desigualdade vale sempre e acabou...
 
***
 
O mais legal, entretanto, é achar algum problema de combinatória onde um dado conjunto tenha (2m)!*(2n)!/(m!*n!*(m+n)!) elementos.
 
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 9 May 2006 20:48:46 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Ajuda
> m! e n! esta contido em 2m! e 2n!, falta so provar que (m+n)! esta contido em 2m ou 2n fatorial desenvolvidos.
> caso em que m=n
> m+n0=2m=2n
> o que da resultado inteiro
> m maior que n ou n maior que m
> 2m ou 2n maior que m+n, o qque demonstra que o denominador tambem se anula neste caso, como m e n sao inteiros, o numerador vais ser uma produto de numeros inteiros.
>

 
> On 5/9/06, Manoel P G Neto Neto <buniakovski@yahoo.com.br> wrote:
Olá amigos da lista,

Vocês poderiam me ajudar com a questão:

Sejam m, n inteiros positivos, então

(2m)! (2n)! / m! n! (m+n)!

é um número inteiro.

Grato.
 

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