Re: [obm-l] Cos 7º

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, May 25, 2006 at 11:55:06AM -0300, Júnior wrote:
> Como calcular  cos7º ?

Eu imagino que você esteja interessado no valor exato pois
é muito fácil calcular o valor aproximado com vários programas
de computador. Por exemplo, com o maple,

> evalf(cos(7*Pi/180));
                  0.9925461516413220349800615893305841090437

Eu suponho que você saiba que

cos(36 graus) = c36 := (1+sqrt(5))/4;
sen(36 graus) = s36 := sqrt(5-sqrt(5))/(2*sqrt(2));
cos(15 graus) = c15 := sqrt(2+sqrt(3))/2;
sen(15 graus) = s15 := sqrt(2-sqrt(3))/2;

Assim 

cos(21 graus) = c21 := c36*c15+s36*s15;

Como cos(3t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t), cos(7 graus) é uma
das raízes de

4*x^3 - 3*x - c21 = 0;

O maple confirma que as três raízes são
cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256,
cos(247 graus) = -0.3907311284892737550620845888890942676180,
cos(  7 graus) =  0.9925461516413220349800615893305841090437.

Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, não é possível
chegar numa fórmula com radicais reais para as raízes deste polinômio.

Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a segunda mair raiz de

                 48                     46                      44
281474976710656 z   - 3377699720527872 z   + 18999560927969280 z

                          42                       40                       38
     - 66568831992070144 z   + 162828875980603392 z   - 295364007592722432 z

                           36                       34
     + 411985976135516160 z   - 452180272956309504 z

                           32                       30
     + 396366279591591936 z   - 280058255978266624 z

                           28                      26                      24
     + 160303703377575936 z   - 74448984852135936 z   + 28011510450094080 z

                         22                     20                    18
     - 8500299631165440 z   + 2064791072931840 z   - 397107008634880 z

                       16                  14                 12
     + 59570604933120 z   - 6832518856704 z   + 583456329728 z

                    10               8             6           4         2
     - 35782471680 z   + 1497954816 z  - 39625728 z  + 579456 z  - 3456 z  + 1


As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para
k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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