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[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
> ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------->
> u (x) v = c_11 [e_1 (x) e^1] + c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1]
> +
> c_22 [e_2 (x) e^2]
> ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------->
> Esse (x) entre os vetores e_1 e e^1, e_1 e e^2, etc significa qual
> operação entre vetores?
> Pode dar um exemplo?
Esse (x) denota produto direto tensorial. Andei pesquisando um pouco
e descobri que produto direto tensorial não é a mesma coisa que produto
direto.
Um espaço produto ( obtido por produto direto de espaços)
nada mais é do que um produto cartesiano de espaços, que por sua vez
pode ser equipado com uma métrica que induz uma topologia
(topologia produto):
http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product
Por exemplo: Se você pegar duas cópias de R por exemplo, uma
com base e_1 e outra com base e_2 e fizer um produto direto (comum)
vai obter um espaço com base (e_1,e_2). Note que a dimensão é
a soma das dimensões. O espaço obtido
dessa forma é o mesmo que você obteria se fizesse a soma direta
dos dois espaços.
Agora, o produto direto*tensorial* é diferente. A dimensão no
caso, é o *produto* das dimensões:
http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceTensorProduct.html
Quando você multiplica tensorialmente dois espaços vetoriais
você gera um novo espaço vetorial, cuja base consiste de elementos
da forma e_i (x) e^j (note que o subscrito é usado para vetores linha
e o superscrito para vetores coluna). O número de elemnentos da
nova base, é claro, é igual à dimensão do espaço produto gerado.
http://planetmath.org/encyclopedia/TensorProductClassical.html
> Os c_ij são obtido de qual maneira usual?
São obtidos da mesma forma que vc obteria se multiplicasse dois
polinômios. Vou tentar construir um exemplo:
v = a^1 e_1 + a^2 e_2
w = a_1 e^1 + a_2 e^2
Aqui você pode pensar em v como um
vetor coluna e w como um vetor linha.
O que acontece quando vc multiplica um
vetor coluna (covariante -- subscritos) por um vetor linha
(contravariante -- superscritos) ? Vc obtém uma matriz (tensor):
v (x) w = [ a_1 ] [a^1 a^2] = [ a^1a_1 a_1a^2 ]
[ a_2 ] [ a^2a_2 a^2a_2 ]
Agora veja: A entidade que vc obteve não é mais um
vetor e a dimensão dessa entidade é 4. Isto é vc pode
escrever:
[ a^1a_1 a_1a^2 ] = a^1a_1[1 0] + a_1a^2[0 1] +
[ a^2a_2 a^2a_2 ] [ 0 0] [ 0 0]
a^2a_2 [0 0] + a^2a^2 [0 0]
[ 1 0] [ 0 1]
ou, mais resumidamente:
v (x) u = a^1a_1 e_1(x)e^1 + a_1a^2 e^1(x)e_2 +
a^2a_1 e_1(x)e^1 + a^2a_2 e^2(x)e_2
v (x)u = somatório_{ij} a_i a^j e ^i _j
onde e^i _j = e^i (x) e_j é a base do tensor (também chamado
de delta de Kroenecker). Veja que neste exemplo,
cada delta de Kroenecker
é uma 'matriz' em que todos números são zero, exceto um dos
números (que é 1). Note que v é um tensor de rank (1,0)
isto é, um vetor coluna e w é um tensor de rank (0,1), isto é,
um vetor linha. O resultado é um tensor de rank (1,1), isto é
uma matriz bidimensional.
http://planetmath.org/encyclopedia/CharacteristicArray.html
Agora, fique esperto, pois nosso amigo Einstein, costuma suprimir as
somatórias
quando vc faz a soma sobre um mesmo índice.
http://mathworld.wolfram.com/EinsteinSummation.html
Note que é possível generalizar essa idéia para n dimensões.
Como vc sabe delta_{ij} em dimensão 2 poderia ser escrita
como:
delta_{ij} = [1 0]
[0 1] isto é, se i=j o elemento vale 1, senão vale 0.
E se fosse
delta_{ijk} ? Primeiro seria uma matriz
tridimensional. Onde estariam os números 1 ?
Ora, onde i=j=k ou seja, na diagonal principal da
matrix 3x3.
Agora como seria delta_{ij}^{k} ? Note que agora temos
um cubo e um cubo tem 3 diagonais principais. Em qual
delas estariam os números 1?
>
> Realmente não entendi.
Um exemplo realtivamente fácil de entender são as formas quadráticas
que são definidas a partir de tensores também mas que
no final das contas dão valores escalares:
http://mathworld.wolfram.com/QuadraticForm.html
Um elipsóide, por exemplo, pode ser definido a partir de uma
forma quadrática:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid
(tá em deutch, mas a idéia matemática e as equações dá para entender).
Note que a forma geométrica do elipsóide é *independente*
do sistema de coordenadas escolhido. Isso é uma característica de objetos
definidos a partir de tensores.
Mas existe um sistema de coordenadas no qual a matriz é diagonal.
Outras quádricas podem ser definidas por formas quadráticas e de
fato suas formas são invariantes por transformações de coordenadas.
Hmmm o que isso tem a ver com mecânica ?
Euler consegue descrever a rotação de um corpo rígido arbitrário
usando uma coisa chamada Elipsóide de Inércia.
Como vc deve saber, o momento de inércia é um tensor.
http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
Essa característica tensorial do momento de inércia (em três dimensões)
está intrinsecamente relacionada com a geometria do corpo.
Assim é possível escrever as equações de movimento para ,
digamos um pião, eu um frame arbitrário:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/lectures/node71.html
Bem... acho que vou parar por aqui... preciso me concentrar no meu
programa de moléculas ... ;)
[]s Ronaldo
>
>
>
> Muito obrigado pela atenção!!!
>
> Abraços!!!
>
> --
> Henrique
> "Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
> pequeno que não possa ensinar."
> "There's no one that is so great that could not learn nor so small
> that could not teach."
> "O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais." - Piaget
> "The confident individual try more, err more, learn more." - Piaget
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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