Re: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais

["Júnior" <jssouza1@xxxxxxxxx>]

Bruno, creio que esse topico já foi bastante debatido aqui na lista,
consulte os logs da mesma. Mesmo assim nao hesito em  mostrar uma
maneira que vi um profº fazer.
Irei reproduzir o S_2 (soma dos quadrados). É facil reproduzir os demais.
O triangulo de Pascal:
1---------------- 1x1=1=1^2
1 1------------- 1x1+ 3x1=4=2^2
1 2 1---------- 1x1+ 3x2+ 2x1=9=3^2
1 3 3 1------- 1x1+3x3+ 2x3=16=4^2 
1 4 6 4 1---- 1x1+3x4+2x6=25=5^2
1 5 10 10 5-1x1 +3x5+2x10=36
=6^2
Note que: Binom(k,0)+3Binom(k,1)+2Binom(k,2)=1+3k+k(k-1)=(k+1)^2

Sum(1,n)[j^2]=Sum(0,n-1)[j+1]^2 = Sum(0,n-1)[Binom(k,0) +3Binom(k,1)+2Binom(k,2)]

=Sum(0,n-1)Binom(k,0) +3Sum(0,n-1)Binom(k,1) +2Sum(0,n-1)Binom(k,2)

=Binom(n,1) +3Binom(n,2) +2Binom(n,3)= n(2n+1)(n+1)/6

Não sei se a minha notação está correta, portanto fica ai "tradução":
Binom(n,p)=n!/(n-p)!p!
Sum(1,n)[j^2]= Somatorio de j quadrado com j variando de 1 a n.

Júnior.

Em 08/05/06, Bruno Bonagura <bbonagura@uol.com.br> escreveu:

Olá pessoal,

Na primeira vez em que vi o somatório 1² + 2² + 3² + ... + n² e sua
fórmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar tal
fórmula. Isso foi há quase dois anos! Desde então pensava frequentemente
no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito alguns
fóruns de matemática, tanto nacionais como internacionais, e sempre que
era questionada demonstração para tal fórmula mostravam aquela que
utiliza combinação e mais algumas coisas. Confesso que não dei muita
atenção para tal demonstração, não tive simpatia com ela.

Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos azuleijos do
banheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei se já
foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem consultar
algo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassem
possíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está na
literatura corrente esta demonstração. Ela está disponível no meu blog
(http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título "Empilhando
quadrados".

Vale ressaltar que não estou enviando essa mensagem para a lista apenas
para fazer propaganda e conseguir visitas no meu blog. Meu intuito é
compartilhar conhecimento e receber críticas/sugestões, não a coloco
diretamente aqui por causa das fórmulas matemáticas e imagens que a
envolvem.

Bruno Bonagura

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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