Olá Artur! Entendi todos os procedimentos que você fez, determinação das raízes, uso da fórmula da PG... só não entendi essa última conclusão:
"Se um complexo z eh raiz da unidade, entao todas suas
potencias inteiras tanbem o sao"
Agradeço desde já todo tempo despendido na tarefa, poderia por favor me dar algum exemplo aritmeticamente simples do que você falou? Isso sai diretamente daquela "segunda lei de Moivre"?
OOOOps, desculpe. Depois de mandar a mensagem eu vi
que comi mosca. Mostrar que os 2 polinomios tem uma
raiz comum nao prova a divisibilidade de p por g.
Mas vejamos o seguinte. Pelas formulas de soma de PGs,
para x<>1 temos g(x) = (x^10 - 1)/(x-1). Tambem para
x<>1, temos p(x) = (x^1111)^10 - 1)/(x^1111 - 1). As
raizes de g sao, portanto, as raizes decimas de 1 com
excecao do proprio 1. As raizes de p sao as raizes
indice 1111 das raizes 10 de 1, excluindo-se a propria
uniddae.
Se um complexo z eh raiz da unidade, entao todas suas
potencias inteiras tanbem o sao, de modo que toda raiz
de g eh raiz de p. E com isto, agora sim, provamos que
g divide p.
Artur
--- "J. Renan" <jrenan@gmail.com> wrote:
> Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que
> inicio aqui. Estudando
> divisibilidade de polinômios me deparei com o
> seguinte exercício (a fonte
> diz que é IME, mas não encontrei esse exercício
> entre os exercícios do IME):
>
> Prove que o polinômio p(x) = x^9999 + x^8888 +
> x^7777 + ... + x^1111 + 1 é
> divisível por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 + .... + x^1 + 1
>
> Creio eu que tenha que utilizar a teoria das
> congruências (mod). agradeço
> desde já pela ajuda.
>
> --
> Um Grande Abraço,
> Jonas Renan
>
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Um Grande Abraço,
Jonas Renan