Re: [obm-l] Divisão de polinômios

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

De fato, ficou confuso. Escrevi correndo, ainda estava
no trabalho e aproveitei alguns intervalos. 

O que quis dizer, e de fato nao disse exatamente, foi
o seguinte. Temos que p(x) = (x^1111)^10 - 1)/(x^1111
-  1). Temos tambem que (x^1111)^10 = (x^10)^1111.
Propriedades algebricas basicas validas no corpo dos
reais e, tambem, no dos complexos. Se x for raiz de g,
entao x^10 = 1, de modo que as raizes de g sao as
raizes decimas de 1, excluindo a propria unidade.
Entao, (x^1111)^10 - 1 = (x^10)^1111 - 1  = 1^1111 - 1
= 1 -1 =0, do que deduzimos que toda raiz de g eh
tambem raiz de p.  

De forma precisa, temos o seguinte: se z eh raiz n da
unidade e m eh multiplo de n, entao z e raiz m da
unidade. Foi o que quis dizer, mas de fato nao disse
exatamente isso. Realmente, m = k*n para algum inteiro
k, de modo que z^m = z^(k*n) = (z^n)^k = 1^k = 1.

Abracos

--- "J. Renan" <jrenan@gmail.com> wrote:

> Desculpem a falta de atenção, entendi o meu engano.
> 
> Obrigado pela colaboração Artur e Júnior!
> 
> 2006/5/4, J. Renan <jrenan@gmail.com>:
> >
> > Olá Artur! Entendi todos os procedimentos que você
> fez, determinação das
> > raízes, uso da fórmula da PG... só não entendi
> essa última conclusão:
> >
> >
> > "Se um complexo z eh raiz da unidade, entao todas
> suas
> > potencias inteiras tanbem o sao"
> >
> > Agradeço desde já todo tempo despendido na tarefa,
> poderia por favor me
> > dar algum exemplo aritmeticamente simples do que
> você falou? Isso sai
> > diretamente daquela "segunda lei de Moivre"?
> >
> > Em 04/05/06, Artur Costa Steiner
> <artur_steiner@yahoo.com> escreveu:
> >
> > > OOOOps, desculpe. Depois de mandar a mensagem eu
> vi
> > > que comi mosca. Mostrar que os 2 polinomios tem
> uma
> > > raiz comum nao prova a divisibilidade de p por
> g.
> > > Mas vejamos o seguinte. Pelas formulas de soma
> de PGs,
> > > para x<>1 temos g(x) = (x^10 - 1)/(x-1). Tambem
> para
> > > x<>1, temos p(x) = (x^1111)^10 - 1)/(x^1111 -
> 1). As
> > > raizes de g sao, portanto, as raizes decimas de
> 1 com
> > > excecao do proprio 1. As raizes de p sao as
> raizes
> > > indice 1111 das raizes 10 de 1, excluindo-se a
> propria
> > > uniddae.
> > > Se um complexo z eh raiz da unidade, entao todas
> suas
> > > potencias inteiras tanbem o sao, de modo que
> toda raiz
> > > de g eh raiz de p. E com isto, agora sim,
> provamos que
> > > g divide p.
> > > Artur
> > >
> > > --- "J. Renan" <jrenan@gmail.com> wrote:
> > >
> > > > Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico
> que
> > > > inicio aqui.  Estudando
> > > > divisibilidade de polinômios me deparei com o
> > > > seguinte exercício (a fonte
> > > > diz que é IME, mas não encontrei esse
> exercício
> > > > entre os exercícios do IME):
> > > >
> > > > Prove que o polinômio p(x) = x^9999 + x^8888 +
> > > > x^7777 + ... + x^1111 + 1 é
> > > > divisível por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 + .... +
> x^1 + 1
> > > >
> > > > Creio eu que tenha que utilizar a teoria das
> > > > congruências (mod). agradeço
> > > > desde já pela ajuda.
> > > >
> > > > --
> > > > Um Grande Abraço,
> > > > Jonas Renan
> > > >
> > >
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