Re: [obm-l] Divisão de polinômios

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

OOOOps, desculpe. Depois de mandar a mensagem eu vi
que comi mosca. Mostrar que os 2 polinomios tem uma
raiz comum nao prova a divisibilidade de p por g.
Mas vejamos o seguinte. Pelas formulas de soma de PGs,
para x<>1 temos g(x) = (x^10 - 1)/(x-1). Tambem para
x<>1, temos p(x) = (x^1111)^10 - 1)/(x^1111 - 1). As
raizes de g sao, portanto, as raizes decimas de 1 com
excecao do proprio 1. As raizes de p sao as raizes
indice 1111 das raizes 10 de 1, excluindo-se a propria
uniddae. 
Se um complexo z eh raiz da unidade, entao todas suas
potencias inteiras tanbem o sao, de modo que toda raiz
de g eh raiz de p. E com isto, agora sim, provamos que
g divide p.
Artur  

--- "J. Renan" <jrenan@gmail.com> wrote:

> Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que
> inicio aqui.  Estudando
> divisibilidade de polinômios me deparei com o
> seguinte exercício (a fonte
> diz que é IME, mas não encontrei esse exercício
> entre os exercícios do IME):
> 
> Prove que o polinômio p(x) = x^9999 + x^8888 +
> x^7777 + ... + x^1111 + 1 é
> divisível por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 + .... + x^1 + 1
> 
> Creio eu que tenha que utilizar a teoria das
> congruências (mod). agradeço
> desde já pela ajuda.
> 
> --
> Um Grande Abraço,
> Jonas Renan
> 


__________________________________________________
Do You Yahoo!?
Tired of spam?  Yahoo! Mail has the best spam protection around 
http://mail.yahoo.com 
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================