Seja theta o angulo de lançamento.
Vamos calcular o tempo que ele fica voando:
Voy = Vo * sen(theta)
Vy = Voy - g * t = Vo * sen(theta) - gt
O tempo que ele fica no ar é o tempo de subida + o tempo de descida = 2 vezes o tempo de subida:
.:. t = 2Vosen(theta)/g
Vamos colocar isso na equação da posição horizontal:
S = So + Vt = Vt = Vo cos(theta) * 2Vosen(theta)/g
Agora a perguta é: qual é o theta que maximiza S?
S = Vo/g * 2 sen(theta) cos(theta) = Vo/g * sen(2theta)
S' = Vo/g * 2cos(2theta) = 0 cos(2theta) = 0 <==> theta = 45 (estou me limitando ao intervalo [0, 90] graus.
Então se theta = 45 temos um extremo.
S''= -4Vo/g * sen(theta)
S''(45) = -4Vo/g * 1/sqrt(2) < 0
Logo, em 45 S tem um máximo local
Verifique que the theta = 0 ou theta = 90 o deslocamento horizontal é menor e pronto!