Re: [obm-l] convergencia de uma sequencia

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Eh verdade sim. Seja eps >0 arbitrariamente escolhido.
Da convergencia de Soma (i=1, inf) a_n, temos, pelo
crit. de Cauchy, que existe k tal que n>=k =>
|a_(k+1)...+...a_n| < eps. Como a_n eh uma sequencia
monotonicamente decrescente de numeros reais nao
negativos, temos entao, para n>=k, que 0 <= (n-k)* a_n
<= a_(k+1)...+...a_n < eps e, portanto, 

0 <= n * a_n < eps + k * a_n.

A convergencia de Soma (i=1, inf) a_n implica, tambem,
que lim a_n =0. Mantendo-se fixos k e eps e fazendo-se
n -> oo nas desigualdades acima, obtemos 

0 <= limsup (n * a_n) <= eps + k*0 = eps. Como eps>0 
eh arbitrario, temos necessariamente que limsup (n
*a_n) =0. E como n * a_n >=0, para todo n, temos que 
0 <= liminf ( n* a_n) <= limsup (n * a_n) <=0, o que
eh o mesmo que lim (n * a_n) = 0.

Em vez de trabalhar com liminf e limsup, poderiamos
tambem escolher j>k tal que  n>= j => 0 <= a_n <
eps/k. Assim, para n >= j temos 0 <= n*a_n < eps + k *
eps/k = 2eps, o que significa que lim n * a_n = 0.

Outra forma de ver isso eh observar o teorema que diz
que, nas condicoes dadas para a_n, Soma(a_n) converge
se, e somente se, a serie Soma(k=1, inf) 2^k * a_(2^k)
converge. Se a 1a converge, entao a 2a converge e,
portanto, lim (2^k * a_(2^k)) = 0. Como 2^k cresce
montonicamente com k, isto implica que lim n * a_n =0.

Conhecido o fato que vimos, temos a forma talvez mais
imediata de provar que a serie harmonica diverge. Se
a_n = 1/n, entao lim n * a_n =1. Como (1/n) eh
positiva e decrescente, temos imediatamente provada,
por contraposicao, a sua divergencia. Mas hah provas
que permitem ver melhor porque a serie diverge.

A reciproca do teorema nao eh verdadeira, o que
restringe muito a sua aplicacao para analisar
converg/diverg. de series como a Soma(a_n) aqui dada.
Mas, no momento, nao estou vendo nenhum exemplo de
sequencia a_n, nao negativa e decrescente, tal que
Soma (a_n) divirja mas lim n * a_n =0. Alguem tem um
exemplo? Talvez haja um imediato

Artur





--- Sandra <sandra-lynn0@excite.com> wrote:

> 
> Oi,
> 
> Eu gostaria de uma ajuda para demonstrar, se for
> verdade, o seguinte: 
> 
> Se a_n e uma sequencia monotonicamente decrescente
> de numeros reais nao negativos e Soma (i=1, inf) a_n
> converge, entao lim n * a_n =0.
> 
> Eu comecei a tentar resolver mas nao consegui
> concluir.
> 
> Obrigada
> 
> Sandra
> 
> 
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